2вышкаЭУП / part_2
.pdf
2.4 Метод дифференцирования
Метод дифференцирования предполагает, что общее приращение функций (результирующего показателя) может быть разложено на слагаемые, соответствующие переменным (факторам). Значение каждого слагаемого определяется как произведение частной производной функции по данной переменной на приращение переменной. В основе данного подхода лежит алгоритм вычисления полного дифференциала функции. Из математики известно, что в случае дифференцируемой функции нескольких переменных - z=f(x1, х2, ..., хn) приращение функции z можно представить в следующем виде:
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
n |
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
x1 |
|
x2 |
... |
xn |
|
|
xi |
, |
(21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 |
xn |
i 1 xi |
|||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
z |
- |
частные |
производные |
|
результирующего |
показателя по |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
переменной хi; 
- неразложимый остаток, ошибка разложения. Линейная часть этого разложения называется полным дифференциалом и равна:
z |
z |
x1 |
z |
x2 ... |
z |
xn , |
(22) |
|
|
|
|
||||||
x1 |
x2 |
xn |
||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, приращение функции z можно представить в виде z=дz + 
. При малых приращениях 
0, а z 
z . Отсюда влияние фактора хi на результирующий показатель z представляется в удобном виде функциональной зависимостью:
|
n |
z |
|
|
z |
z |
xi , |
||
|
||||
xi |
||||
|
i 1 |
|
Частные производные |
z |
|
|
||
xi |
||
|
(23)
вычисляются по правилам математического
анализа по известной функции z=f(x1, х2, ..., хn). |
|
|
|
|||
При |
малых |
измененияx |
факторов |
- |
ошибка |
метода |
дифференцирования является величиной более высокого порядка малости,
чем хi и ее значением можно пренебречь. Однако для экономических
расчетов при существенных изменениях факторов значения 
могут заметно отличаться от нуля, и нельзя не учитывать величины этого слагаемого.
Расчет величины ошибки осуществляется следующим образом:
n |
z |
|
|
|
z |
xi , |
(24) |
||
|
||||
xi |
||||
i 1 |
|
|
где z = z1- z0, z1, z0 - текущее и базисное значения показателя. Определив величину ошибки, ее надо разложить между отдельными
факторами, чтобы обеспечить баланс приращения результирующего показателя z. Для этого используют различные методы.
В практике экономического анализа обычно либо прибавляют неразложимый остаток к одному из факторов (чаще всего качественному), либо распределяют остаток между всеми факторами равномерно.
Последовательность проведения расчетов методом дифференцирования рассмотрим на примере, исходные данные для которого совпадают с данными, использованными в примере расчета по методу цепных подстановок:
Пример. Определяем функцию, связывающую результирующий показатель и факторы-аргументы. В нашем примере это:
VTП=D•R
Находим частные производные этой функции по каждому фактору-
аргументу:
а) по фактору-аргументу D:
6) по фактору-аргументу R:
V 'ТП |
dV |
|
d (DR) |
R |
|
|
|
|
|
||
dD |
|
dD |
|||
|
|
|
|||
V 'ТП |
dV |
|
d (DR) |
D |
|
|
|
|
|
||
dR |
|
dR |
|||
|
|
|
|||
Находим значение частных производных при базисном уровне факторов-аргументов:
V’ТПD0=R0=25, V’ТПR0=D0=160.
Рассчитываем приращение факторов-аргументов по формуле (9): 
D=150-160=-10, R=3025=5.
Определяем влияние изменения каждого фактора-аргумента на изменение функции по формуле (23):
|
|
|
VTПD = 25 • (-10) = -250, |
|
|
|
|
|
VTПR =160 • 5=800. |
|
|
Совместное влияние изменения факторов-аргументов на изменение |
|||||
объема товарной продукции: |
|
|
|||
VTП = |
VTПD + |
VTПR = -250 + 800 = 550. |
|
||
Как видно из примера, при использовании метода дифференцирования |
|||||
произошла ошибка, величина которой равна |
|
||||
= |
V – дV =(4500 - 4000) - 550 =-50 тыс. руб. |
|
|||
Используя метод простого добавления неразложимого остатка, |
|||||
прибавим |
величину |
ошибки |
к качественному |
фактору-аргументy |
|
(производительность труда): |
|
|
|||
VТПD =-250 - 50 =-300 тыс. руб. |
|
||||
Тогда |
общее изменение |
объема товарной |
продукции составит: |
||
VТП =-300 + 800 = 500 тыс. руб., в том числе:
за счет изменения производительности труда произошло уменьшение на 300 тыс. руб.;
за счет изменения численности производственного персонала произошло увеличение на 800 тыс. руб.
Если использовать метод равномерного распределения неразложимого остатка между всеми факторами, вы звавшими изменение результирующего показателя, получим следующий результат. Поскольку на результирующий показатель оказывают влияние два фактора-аргумента, то каждый из них надо скорректировать на величину ошибки, равную
/2 =-50/2=-25 тыс. руб.
Тогда общее изменение объема товарной продукции Vтп =-275 + 775 = 500 тыс. руб., в том числе:
за счет изменение производительности труда произошло уменьшение на 275 тыс. руб.;
за счет изменения численности производствевного персонала произошло увеличение на 775 тыс. руб.
Сравнение результатов примеров показывает, что рассмотренные методы дают в общем близкие результаты. Метод дифференцирования наиболее обоснован в математическом плане. Метод цепных подстановок и индексный метод являются простыми традиционными методами ТЭА.