zm / Лекция_Моделирование Стохастическое моделирование
.pdf
При моделировании систем на ЭВМ применяется частный случай равномерного распределения, когда случайные числа находятся на интервале (0, 1). Функции плотности и распределения соответственно имеют вид
1,0 x 1, f (x)
0, x 0, x 1;
|
|
0, x 0, |
|
|
x 1, |
F (x) x,0 |
|
|
1. |
1, x |
|
|
|
Такое распределение имеет математическое ожидание M[ ] = 1/2 и дисперсию D[ ] = 1/12.
33
Получить такое распределение на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с -разрядными числами.
Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0,1) используют дискретную последовательность 2 случайных чисел того же интервала.
Закон распределения такой дискретной последовательности называют
квазиравномерным распределением.
34
СВ , имеющая квазиравномерное распределение в интервале (0,1), принимает значения
= /(2 − 1) с вероятностями = 1/2 , = 1. . 2 − 1
Мат. ожидание и дисперсия квазиравномерной СВ существенно не отличается от мат. ожидания и дисперсии равномерной распределенной СВ интервала (0,1) и принимают такие же значения, а дисперсия отличается только множителем (2 + 1)/(2 − 1), который при больших стремится к 1.
35
Для получения случайных чисел на ЭВМ используются алгоритмы, поэтому такие последовательности, являющиеся по сути детерминированными, называются
псевдослучайными.
Наиболее известные алгоритмы:
•метод серединных квадратов (одна из исторически первых сложившихся процедур);
•конгруэнтные процедуры генерации.
36
МЕТОД СЕРЕДИННЫХ КВАДРАТОВ
Пример. Пусть имеется 2n-разрядное число меньше 1, возведем его в квадрат, а затем отберем средние 2n разрядов.
x0 = 0,2152 , (x0)2=0,04631104 , x1 = 0,6311 , (x1)2=0,39828721, x2=0,8287 и т.д.
Недостаток – наличие корреляции между числами последовательности, а иногда случайность вообще отсутствует,
Например:
x0 = 0,4500 , (x0)2=0,20250000, x1 = 0,2500 , (x1)2= 0,06250000, x2= 0,2500 и т.д.
37
КОНГРУЭНТНЫЕ МЕТОДЫ
Воснове лежит понятие конгруэнтности. Два целых числа и конгруэнтны (сравнимы) по модулю , где – целое число, тогда и
только тогда, когда существует такое целое число , что − = , т.е. если разность делится на и если числа и дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа .
38
Примеры:
= 9375 и = 1875; 9375 -1875 = 7500 = 4*1875
= 9375 и = 6875; 9375 - 6875 = 2500 = 4*625
= 1984 и = 1944; 1984 - 1944 = 40 = 4*10
39
Большинство конгруэнтных процедур генерации случайных чисел основаны на следующей формуле:
X i 1 X i (mod M ) |
15.1 |
где , , , – неотрицательные целые числа,0 задана.
По целым числам последовательности * + можно построить последовательность * + = * /+ рациональных чисел из единичного интервала (0,1).
40
Конгруэнтная процедура получения последовательности псевдослучайных чисел квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована
•Мультипликативным методом
•Смешанным методом.
41
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ МЕТОД
Задает последовательность неотрицательных целых чисел * +, не превосходящих по формуле:
X |
i 1 |
X |
(mod M ) |
|
i |
|
Здесь отсутствует, т.е. это частный случай общего соотношения (15.1).
42