zm / Лекция_Моделирование Стохастическое моделирование
.pdf
М.В. Киселева
Моделирование систем
ТЕМА 15. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
•Суть метода статистического моделирования (метод Монте-Карло).
•Методы генерации случайных чисел
•Датчики случайных чисел
•Моделирование случайных событий
2
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Важной особенностью процесса функционирования большинства систем является случайный (вероятностный)
характер протекающих в них процессов и явлений.
Вероятностные факторы должны быть отражены в модели системы как случайные события, случайные величины.
3
Многократное выполнение имитационной модели в условиях неопределенности входных параметров
Генерация |
|
Анализ |
очередной |
|
статистических |
реализации |
Имитационная |
характеристик |
входного |
модель |
выходного |
случайного |
|
случайного |
вектора |
|
вектора |
5
Способ ИМ процессов с помощью генерации последовательностей случайных величин получил общее название – метод Монте-
Карло.
Метод Монте-Карло появился в конце 40-х годов прошлого века в результате работы американских учѐных в области проектирования средств защиты от ядерных излучений.
Его применение и развитие в интересах ИМ систем привело к возникновению метода статистического моделирования.
6
В основе метода лежит выполнение следующих действий:
1.проведение большого количества одинаковых по исходным данным испытаний;
2.формирование на этой основе соответствующего количества независимых реализаций случайных величин, характеризующих те или иные исходы функционирования системы;
3.усреднение и другая статистическая обработка формируемых реализаций случайных величин (исходов).
7
Метод Монте-Карло использует в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятностей.
•Принципиально, если количество реализаций → ∞, результаты устойчивы и достаточно точны.
•Практически приемлемые результаты могут быть получены при достаточно небольших .
8
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Неравенство Чебышева. Для неотрицательной случайной величины и любого > 0 выполняется неравенство:
* ≥ + ≤ ,- /
Теорема Бернулли. Если проводится независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью , то относительная частота появления события / при → ∞ сходится по вероятности к , т.е. при любом > 0
Lim P(| m / N p | ) 0
N
где – число положительных исходов испытания.
9
Теорема Пуассона. Если проводится независимых испытаний, и вероятность осуществления события А в -м испытании равна , то относительная частота появления события / при сходится по вероятности к среднему из вероятностей , т.е. при любом > 0
|
1 |
N |
|
|
Lim P(| m / N |
i |
| ) 0 |
||
|
||||
|
p |
|||
N |
N |
|
||
|
|
i 1 |
|
|
10
Теорема Чебышева
|
|
1 |
N |
|
|
Lim P(| |
i |
i |
|||
|
|||||
|
x |
M (x ) | ) 0 |
|||
N |
|
N |
|
||
|
|
|
i 1 |
|
|
где |
– значения СВ, ( ) – мат. ожидание СВ |
||||
|
|
|
|
|
|
Обобщенная теорема Чебышева
|
1 |
N |
|
1 |
N |
|
|
Lim P(| |
X i |
|
M ( X i |
) | ) 0 |
|||
N |
N |
||||||
N |
i 1 |
|
i 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
где – |
-ая независимая СВ, ( ) – мат. ожидание |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
независимой СВ |
|
|
|||||
11