zm / Лекция_Моделирование Системы массового обслуживания
.pdf
Среднее число занятых каналов:
n |
|
|
|
|
з |
|
|||
|
|
|||
|
|
|
Среднее число заявок в системе:
e |
e |
n |
c |
ож |
з |
Среднее время пребывания требования в системе:
tc tож 1/
т.е. среднее время ожидания в очереди плюс среднее время обслуживания.
62
ПРИМЕР 5
Многоканальные системы с отказами и бесконечным потоком требований на входе
(М/М/ /):
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
. . . |
N-1 |
N |
. . . |
N+m |
|
|||||||
|
|
2 |
(N-1) |
N |
|
N |
N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Граф динамики такой многоканальной системы имеет конечное число состояний, равное + + 1, включая нулевое состояние, где –длина очереди.
63
Вероятность загрузки системы:
P |
1 Р |
заг |
0 |
Вероятность отказа в обслуживании:
P |
P |
отк |
n m |
Среднее число заявок в очереди:
e |
P |
2P |
... mP |
ож |
N 1 |
N 2 |
N m |
Среднее время ожидания в очереди:
t |
|
|
1 |
P |
|
2 |
P |
... |
m |
P |
ож |
|
|
|
|||||||
|
|
N |
N |
|
N |
N 1 |
|
N |
N m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число занятых каналов:
n |
з |
P 2P ... N(P P |
... P |
) |
||
|
1 |
2 |
N N 1 |
N m |
|
|
64
ПРИМЕР 6
Многоканальные системы без потерь с источником конечного числа требований (замкнутые системы):
m |
(m-1) |
|
|
(m-i+1) |
|
(m-i) |
(m-N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
0 |
1 |
2 |
. . . |
i-1 |
i |
i+1 . . . |
. . . |
|
m |
|
m-1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
i |
|
(i+1) |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
m – максимальное число заявок в СМО,
число состояний СМО – + 1, включая нулевое состояние.
65
СМО С «ВЗАИМОПОМОЩЬЮ» МЕЖДУ КАНАЛАМИ
СМО с «взаимопомощью» – системы, в которых одна и та же заявка может обслуживаться несколькими каналами.
Взаимопомощь может быть организована в любом типе СМО (замкнутая, разомкнутая).
При анализе таких СМО необходим учет 2-х факторов:
1) Насколько убыстряется дисциплина обслуживания заявки при работе нескольких каналов. Самый простой вариант – пропорциональное увеличение: k , где k – число каналов, занятых обслуживанием заявки.
2) Дисциплина взаимопомощи. Самый простой вариант –
«все как один». Заявку обслуживают сразу все каналы. 66
ПРИМЕР 7
Трехканальная СМО с потерями и бесконечным потоком заявок на входе.
Размеченный граф состояний для СМО без
«взаимопомощи»:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
Размеченный граф состояний для системы с
«взаимопомощью»:
0 1
3
67
ПРИМЕР 8
СМО с ошибками в обслуживании.
Заявка, принятая к обслуживанию, обслуживается не с полной достоверностью, а с некоторой вероятностью – .
Пример. Размеченный граф состояний для трехканальной СМО с ошибками в обслуживании:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
p |
2p |
3p |
68
ПРИМЕР 9
СМО с ошибками в обслуживании и очередью. Здесь характер обслуживания зависит от длины очереди. При увеличении длины очереди канал начинает «спешить». Время обслуживания уменьшается, но увеличивается вероятность ошибки в обслуживании.
Размеченный граф состояний для одноканальной СМО/ /1/2, с ошибками в обслуживании в зависимости
от длины очереди: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
*(0) |
|
|
|
|||||
|
|
|
*(1) |
|
*(2) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интенсивность обслуживания вычисляется по формуле:
*
(r) (r) p(r) , где (r) - интенсивность, p(r) - вероятность обслуживания при длине очереди r.
69