8.2. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении
При
анализе распространения плоской
электромагнитной волны в неограниченной
однородной среде была использована
прямоугольная система координат, одна
из осей которой (ось z)
совпадала с направлением распространения
волны. Для изучения волновых явлений
на плоской границе раздела двух сред
прямоугольную систему координат обычно
вводят таким образом, чтобы поверхность
раздела совпадала с одной из координатных
поверхностей. При этом в общем случае
направления распространения падающей,
отраженной и преломленной волн не
совпадают ни с одной из координатных
осей. Рассмотрим случай, когда плоская
электромагнитная волна распространяется
в произвольном направлении, не совпадающем
ни с одной из координатных осей.
Ограничимся записью линейно поляризованной
волны, так как волны круговой и
эллиптической поляризации можно
представить в виде суперпозиции двух
линейно поляризованных плоских волн.
Предположим, что волна распространяется
в однородной среде вдоль оси
,
образующей с осями x,
y, z
прямоугольной системы координат углы
,
и
соответственно (рис. 8.6).
Рис. 8.6. Произвольные направления распространения плоской волны
Поле плоской однородной волны в среде без потерь запишем через комплексные амплитуды
. (8.16).
Векторы
и
лежат в плоскости перпендикулярной оси
,
причем
, (8.17)
где
– координатный орт переменной
.
Поверхность
равных фаз (фронт волны) является
плоскостью, перпендикулярной оси
,
и удовлетворяет уравнению
, (8.18)
где
– радиус вектор, проведенный из начала
координат до произвольной точки, лежащей
на рассматриваемой поверхности равных
фаз.
Для
перехода к координатам x,
y, z
нужно вычислить скалярное произведение
вектора
на вектор
(8.18). Учитывая, что радиус вектор равен
,
из (8.18) запишем
. (8.19).
Подставляем
(8.19) в (8.16), получаем запись комплексных
амплитуд векторов поля волны, произвольное
направление распространения которой
расписано в системе x, y,
z через направляющие
косинусы вектора
, (8.20)
. (8.21)
Частными случаями формул (8.20), (8.21) являются записи плоских волн, распространяющихся вдоль какой-либо координаты x, y, z.