Лекция 4 Уравнение баланса мощностей в электромагнитном поле. Скорость распространения электромагнитной энергии.

4.1 Уравнение баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле

Электромагнитные поля способны переносить энергию в пространстве, при этом часть энергии может преобразовываться в другие виды энергии. Электромагнитная энергия подчиняется закону сохранения энергии, заложенному в уравнениях Максвелла.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле применительно к некоторому объему среды V, ограниченному поверхностьюS(рис. 4.1)

Рис. 4.1. К выводу уравнения баланса

В объеме V, заполненном линейной однородной и изотропной средой, находится сторонний источник поля. Для вывода возьмем два первых уравнения Максвелла

Умножим первое уравнение скалярно на вектор , второе – на вектор, а затем почленно вычтем из первого равенства второе. В результате получим соотношение

. (4.1)

Левую часть уравнения (4.1) преобразуем на основании известной формулы векторного анализа

. (4.2)

Далее, используя материальные уравнения , видоизменим два первых слагаемых правой части (4.1)

. (4.3)

С учетом (4.2), (4.3) уравнение (4.1) примет вид

. (4.4)

Это уравнение называется уравнением баланса мощности в дифференциальной форме.

Проинтегрируем почленно уравнение (4.4) по объему V, и к первому слагаемому правой части применим теорему Остроградского-Гаусса для перевода объемного интегралав поверхностный интеграл от векторного произведения. В результате получаем

(4.5)

Выражение (4.5) представляет собой уравнение баланса мгновенных значений мощностей электромагнитного поля и определяет закон сохранения энергии электромагнитного поля для выделенного объема среды. Все члены этого уравнения имеют размерность мощности. Выясним смысл выражений входящих в уравнение (4.5) и введем для них обозначения. Объемный интеграл

(4.6)

представляет собой мгновенные значения энергии электромагнитного поля, содержащейся в объеме Vи распределенной с объемной плотностью

. (4.7)

Энергия электромагнитной волны состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля.

Объемный интеграл

(4.8)

определяет мгновенное значение мощности тепловых (джоулевых) потерь в объеме V. Интеграл в правой части уравнения баланса (4.5) выражает мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объемеV

(4.9)

Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонним током электромагнитному полю. Ток отдает энергию полю при торможении заряженных частиц, образующих ток. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы скалярное произведение векторовибыло отрицательным. Осталось выяснить смысл поверхностного интеграла в уравнении (4.5). Введем обозначение

(4.10)

Вектор определяет мгновенное значение плотности потока мощности (то есть энергии в единицу времени) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии. Векторназывают вектором Пойнтинга. Поверхностный интеграл

(4.11)

это мгновенное значение потока мощности, проходящего через поверхность S, ограничивающую объемV. Если поток мощности выходит из рассматриваемого объема (), то можно считать, что внутри объема находится передающее устройство и поток мощности излучается в окружающее пространство. Припоток мощности входит в объемVи поглощается приемным устройством. Случайсоответствует экранированию объема идеально проводящей поверхностьюS. Символомв электродинамике и теории антенн принято обозначать параметры, связанные с излучением.

Учитывая выше изложенное, перепишем уравнение (3.37) баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле (закон сохранения энергии поля) в области Vв следующем виде:

. (4.12)

Согласно (4.12) мощность стороннего источника тратится на нагревание среды в объеме V, на изменение энергии электромагнитного поля в этом объеме и на создание потока мощности через поверхностьS, ограничивающую объемV. Отметим, что выражения (4.6) для энергии поля и (4.8) для мощности тепловых потерь не учитывают потери на поляризованность и намагниченность среды. Однако выражение (4.11) для потока мощности справедливо для любых сред.

Таким образом, равенства (4.5) и (4.12) представляют собой запись закона сохранения энергии электромагнитного поля, доказанного Дж. Пойнтингом в 1884 г. Ранее в 1874 г. ученым Н. А. Умовым доказан закон сохранения любого вида энергии, при этом впервые введены понятия плотности энергии в данной точке среды и плотности потока энергии. Поэтому вектор Пойнтинга часто называют вектором Умова-Пойнтинга.

В случае переменных во времени процессов распределение электромагнитной энергии непрерывно изменяется. Эти изменения в каждой точке можно определить на основе уравнения (4.4), которое удобно представить в виде

, (4.13)

где – мгновенное значение объемной плотности мощности потерь;

– мгновенное значение объемной плотности мощности сторонних источников.

Уравнение (4.13) является дифференциальной формой записи уравнения баланса мгновенных значений мощностей в электромагнитном поле.

Отметим, что принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию. Пусть энергии двух полей и, имеющих одинаковый закон изменения во времени и существующих по отдельности в областиV, равны соответственнои. Рассмотрим энергию суммарного поля

, (4.14)

где – взаимная энергия полей.

Увеличение суммарных электрического и магнитного полей вызывает не пропорциональное увеличение энергии суммарного поля, так как энергия связана с квадратом напряженности поля. Если векторы и, а так жеивзаимно перпендикулярны, то.

Уравнение баланса мощностей в электромагнитном поле входит в систему основных уравнений электромагнитного поля и широко используется при решении электродинамических задач. Универсальное значение имеет вектор Пойнтинга, характеризующий не только перенос электромагнитной энергии посредством излучения в свободном пространстве, но и перенос энергии в линиях передачи.