4.2.3. Частотная форма представления сигнала

Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких сис­тем решения всегда содержат комплексные экспонен­циальные функции времени. Детерминированные сигналы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему характеру, что является следствием инвариантности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.

Широко используются представления детерминированных сигналов с применением базисных функций с' как при р=±jω (преобразование Фурье), так и при p=s+jω (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).

До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязательна. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, протекающих в системах при прохождении сигналов.

Использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье комплексно-сопряженными парами (сположительным и отрицательным параметром ω) позволяет в соответствии с формулой Эйлера

представить сложный детерминированный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр ω в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.

В силу указанных преимуществ разложение сигналов по системе гармонических базисных функций подверг­лось всестороннему исследованию, на основе которого была создана широко известная классическая спектраль­ная теория сигналов.

В дальнейшем, если это не оговорено специально, спектральное представление сигналов рассматривается в рамках классической теории.

4.3. Спектры периодических сигналов

Периодических сиг­налов, естественно, не существует, так как любой реаль­ный сигнал имеет начало и конец. Однако при анализе сигналов в установившемся режиме можно исходить из предположения, что они существуют бесконечно долго, и принять в качестве математической модели таких сиг­налов периодическую функцию времени. Далее рассмат­ривается представление таких функций как в виде суммы экспоненциальных составляющих, так и с преоб­разованием их в гармонические.

Пусть функция u(t) - заданная в интервале времени t₁ ≤ t ≤ t₂ и удовлетворяющая условиям Дирихле: на любом конечном интервале функция должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого рода, а также конечное число экстремальных точек - по­вторяется с периодом T= 2π/ω₁= t₂—t₁ на протяжении времени от —∞ до +∞. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье:

Постоянная составляющая сигнала (среднее значение сигнала за период):

k- номер соответствующей гармоники. k-ую гармонику можно описать амплитудой А_k и начальной фазой _k:

С учетом данных соотношений ряд Фурье можно представить в виде:

В точках разрыва t_о функцию u(t) следует считать равной

.

Отдельные составляющие в представлениях (95) и (96)

Рис.4.4. Спектры сигнала

называют гармониками. Как спектр амплитуд, так и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно спектральными диаграммами. На диаграмме спектра амплитуд каждой гармонике ставится в соответ­ствие вертикальный отрезок, длина которого пропорцио­нальна амплитуде, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте этой составляющей. Аналогично на диаг­рамме спектра фаз обозначают значения фаз гармоник. Поскольку в результате спектры отображаются совокупностями линий, их часто называют линейчатыми.

Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр не обя­зательно должен принадлежать периодическому сигналу. Спектр периодического сигнала характеризует совокупность гармоник, кратных основной частоте ω₁. Линейчатые спектры, включающие гармоники некратных частот, принадлежат так называемым почти периодическим сиг­налам. Диаграмма спектра амплитуд периодического сигнала показана на рис. 4.4. Огибающую А(ω) этого спектра амплитуд можно получить, заменив kω₁ в A(kω₁) на ω, где ω = kω₁ для k-й гармоники.