6.12.3. Требования, предъявляемые к образующему много­члену

Согласно определению циклического кода все мно­гочлены, соответствующие его кодовым комбинациям, должны делиться наg(x) без остатка. Для этого доста­точно, чтобы наg(x)делились без остатка многочлены, составляющие образующую матрицу кода. Последние получаются циклическим сдвигом, что соответствует по­следовательному умножениюg(x)нахс приведением по модулюxⁿ+ 1.

Следовательно, в общем случае многочленg_i (x) является остатком от деления произведенияg(x) •хⁱна многочлен хⁿ+1и может быть записан так:

g_i (x) =g(x)xⁱ+c(cⁿ +1),

где с=1, если степень g(x)xⁱпревышает n—1; с=0, если степеньg(x)xⁱне превышаетп—1.

Отсюда следует, что все многочлены матрицы, а по­этому и все многочлены кода будут делиться на g(x) без остатка только в том случае, если наg(x) будет делиться без остатка многочлен хⁿ+1.

Таким образом, чтобы g{x) мог породить идеал, а следовательно, и циклический код, он должен быть дели­телем многочлена хⁿ+1.

Поскольку для кольца справедливы все свойства группы, а для идеала —все свойства подгруппы, кольцо можно разложить на смежные классы, называемые в этом случаеклассами вычетов по идеалу.

Первую строку разложения образует идеал, причем нулевой элемент располагается крайним слева. В качест­ве образующего первого класса вычетов можно выбрать любой многочлен, не принадлежащий идеалу. Остальные элементы данного класса вычетов образуются путем суммирования образующего многочлена с каждым многочленом идеала.

Если многочленg(x) степениm=n—kявляется делителем хⁿ+1,то любой элемент кольца либо делится наg(x) без остатка (тогда он является элементом идеала), либо в результате деления появляется остатокr(х), представляющий собой многочлен степени не выше m-1.

Элементы кольца, дающие в остатке один и тот же многочлен r(x),относятся к одному классу вычетов. Приняв многочлены r(x) за образующие элементы клас­сов вычетов, разложение кольца по идеалу с образую­щим многочленомg(x) степениmможно представить в табл.6.12,гдеf(x)—произвольный многочлен степени не вышеn—m—1.

Таблица 6.12

0	g(x)	xg(x)	(x+1)g(x)		f(x)g(x)
r1(x)	g(x)+r1(x)	xg(x)+r1(x)	(x+1)g(x)+r1(x)		f(x)g(x)+r1(x)
r2(x)	g(x)+r2(x)	xg(x)+r2(x)	(x+1)g(x)+r2(x)		f(x)g(x)+r2(x)
					
					
rz(x)	g(x)+rz(x)	xg(x)+rz(x)	(x+1)g(x)+rz(x)		f(x)g(x)+rz(x)

Как отмечалось, групповой код способен исправить столько разновидностей ошибок, сколько различных классов насчитывается в приведенном разложении. Сле­довательно, корректирующая способность циклического кода будет тем выше, чем больше остатков может быть образовано при делении многочлена, соответствующего искаженной кодовой комбинации, на образующий многочлен кода.

Наибольшее число остатков, равное 2^m — 1(исключая нулевой), может обеспечить только неприводимый (прос­той) многочлен, который делится сам на себя и не делит­ся ни на какой другой многочлен (кроме 1).