6.9.4. Условия целесообразности приме­нения избыточных кодов

Применение избыточных кодов для пере­дачи информации должно повысить достоверность по сравнению с передачей без использования избыточности при том же времени передачи сообщений и той же мощности сигналов.

Найдены условия, которым должен удовлетворять при этом избыточный код. В качестве меры сравнения избыточного и неизбыточного кода использо­вана эквивалентная вероятность ошибки Р'.Для канала с независимыми ошибками, по которому передается информация с помощью безызбыточного кода сkинфор­мационными символами длительностью то, вероятность ошибочного приема символа равна

p_э=0,5-Ф(h),

где h²=E₀/N₀=pc₀/N₀- отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи; —коэффициент, за­висящий от способа передачи элементарных сигналов;

___

Ф() =2/e^-x2/2dx.

Применение избыточного кода означает увеличение длины кодовой комбинации по сравнению с безызбыточ­ным кодом. Здесь возможны два случая:

1. увеличение nпроизводится при сохранении прежней длительности передачи комбинации (кода =k₀ =const);

2. увеличение nпроизводится при сохранении прежней длительности символа (₀= const). Для первого случая

h²кода=E_0k/N₀=h²*k/n;

pэ кода=0,5-Ф(k/n h),

где рэ кода—вероятность ошибочно­го приема в кодированной после­довательности. Во втором случае

hкода = hиpэ кода = рэ.

Эффективность избыточного кода оценивается с помощью эквивалент­ной вероятности ошибочного при­ема одного символа такого кода

p’_э=Pош/n,

где Рош =Cⁱ_nрⁱ_э(1- р_э)^n-i[din], если код используется в режиме обнаружения ошибок;

Рош =Cⁱ_nрⁱ_э(1- р_э)^n-i[t+1in] , если ошибки кратностиt исправляются кодом.

Сравнивая величину р’_эс вероят­ностью ошибки символа для безызбыточного кода р_э, можно установить, при каких условиях применение из­быточного кода позволяет повысить помехоустойчивость приема. Такое сопоставление должно проводиться при некоторых одинаковых условиях (например, при одинаковой полосе занимаемых частот или одинаковой длительности кодовой комбинации).

Пусть передача безызбыточным четырехразрядным кодом (k= 4) ха­рактеризуется вероятностью ошибки на символ р_э= 10^-2. Находим, что эта вероятность достигается приh2,33. При использовании избыточного кода Хэмминга (7,4) сd= 3, исправляющего одну ошибку или обнаруживающего две ошибки, введение избыточности вводится за счет сокращения длительности символа безыз­быточного кода. Тогда в режиме обнаружения ошибок эквивалентная веро­ятность ошибочного приема одного символа

Cⁱ₇рⁱ_э(1- р_э)^7-i

P’э= 2,3*10^-4 , где [3in].

7

В режиме исправления ошибок

Cⁱ₇рⁱ_э(1- р_э)^7-i

P’э= 3,5*10^-3 , где [2in].

7

Отсюда видно, что использование кода Хэмминга является эффективным, так как р’э в обоих случаях меньше рэ,но эффективность кода с обнаружением оши­бок выше (2,3*10^-4<3,5*10^-3).

Для пакетного распределения ошибок условие целе­сообразности использования избыточного кода записы­ваем в виде неравенства

гдеt—кратность исправляемой ошибки;b—длина па­кета ошибок;q—плотность ошибок в пакете;k—коли­чество информационных символов; р_b —условная веро­ятность появления пакета ошибок длинойb.

Расчеты, произведенные по последней формуле, позволяют сделать вывод, что условия в случае пакет­ного распределения ошибок гораздо жестче, чем в слу­чае независимых ошибок. Если преобладающая длина пакетов ошибок в канале связи больше кратности кор­ректируемых кодом ошибок, применение такого кода не повысит достоверность, даже если вероятность не будет зависеть от длительности символа.