6.9.2. Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием

Для оценки степени различия между произвольными комбинациями данного кода используется понятие минимального кодового расстояния dmin. Для обнаружения всех ошибок кратности доt_oэто расстояние должно удовлетворять следующему условию:dmint_o +1.

Рассмотрим, например, код cn=3,предназначенный для обнаружения всех однократных ошибок, т. е.dmin= 2. Кодовые комбинации данного кода:

V1V2V3V4V5V6V7V8

000; 001; 010; 01l; 100; 101; 110; 111.

Кодовая матрица расстояний выглядит следующим образом.

V	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7	V8
V1	0	1	1	2	1	2	2	3
V2	1	0	2	1	2	1	3	2
V3	1	2	0	1	2	3	1	2
V4	2	1	1	0	3	2	2	1
V5	1	2	2	3	0	1	1	2
V6	2	1	3	2	1	0	2	1
V7	2	3	1	2	1	2	0	1
V8	3	2	2	1	2	1	1	0

Как видно из матрицы расстояний, в качестве разрешенных комбинаций в этом случае выбираем следующие: V1=000;V4=01l;V6=101;V7=110; либоV2=001;V3=010;V5=100;V8=111.

Для обнаружения двукратных ошибок кодовое расстояние dmin=З. При этом в качестве разрешенных ком­бинаций можно выбратьV1 = 000 иV8 = 111, либоV2 =001 иV7= 110, либоV3=010 иV6=101, либоV4=011 иV5=100. Очевидна справедливость условия:dn.Поэтому в принципе невозможно обнаружить ошибки кратностью, равнойn.

Для исправления ошибок кратности t_икодовое рас­стояние должно удовлетворять условиюdmin2t_и +1.

При этом все множество кодовых запрещенных комби­наций разбивается на N непересекающихся подмножеств, каждое из которых ставится в соответствие одной из раз­решенных комбинаций. При получении запрещенной комбинации, принадлежащей i-му подмножеству, прини­мается решение о том, что передавалась разрешенная комбинация Vi. Способ разбиения на подмножества за­висит от того, какие ошибки должны исправляться дан­ным кодом.

Пример.Построить код со значностьюn= 3 (cм. предыдущий пример), предназначенный для исправления однократных ошибок Минимальное кодовое расстояние при этомdmin2*1 +1= 3.

Выбираем в качестве первой разрешенной комбинации V2 = 001. При наличии однократных ошибок данная комбинация может перейти в одну из запрещенных комбинацийV6=l01,V4=011,V1=000, которые можно принять в качестве подмножества запрещенных комби­наций вектораV2, т. е. в случае приема одной из комбинаций этого подмножества выносится решение, что передан векторV2. Пусть в ка­честве второй разрешенной комбинации выбирается вектор, отстоящий от первого на расстоянии d = 2,V5=100. Ему должно соответство­вать подмножество запрещенных комбинацийV1= 000, V7 = 110,V6= 101. Получилось пересечение подмножеств. При приеме запрещен­ных сигналовV1 илиV6 нельзя однозначно установить, какой был передан сигнал —V2 илиV5.

Если же в качестве второй разрешенной комбинации выбрать комбинацию, отстоящую от V2 на d = 3, т. е. комбинациюV7 = 110, которой соответствует подмножество запрещенных комбинацийV3=010,V5=100,V8=111, то подмножества запрещенных комбинаций не пересекаются. Следовательно,dmin=3 обеспечивает исправление всех однократных ошибок.

Для исправления всех ошибок кратности до t_ии одно­временного обнаружения всех ошибок кратности не болееt_o(приt_o t_и) кодовое расстояние должно удовлетворять условию

dmin  t_o + t_и + 1.

При этом нужно иметь в виду, что, если обнаружен­ная кодом ошибка имеет кратность t_o t_и, такая ошибка исправлена быть не может, т. е. в данном случае код только обнаруживает ошибку. Корректирующие возмож­ности кода в зависимости от кодового расстояния ил­люстрирует таблица.

dmin	to	tи	Возможность, даваемая кодом
1	0	0	Отличать одну комбинацию от другой
2	1	0	Обнаруживать однократные ошибки
3	1	1	Исправлять (с обнаружением) однократные ошибки
3	2	0	Обнаруживать двукратные ошибки
4	2	1	Исправлять однократные и обнаруживать двукратные ошибки
4	3	0	Обнаруживать трехкратные ошибки
5	2	2	Исправлять (с обнаружением) двукратные ошибки
5	3	1	Исправлять однократные и обнаруживать трех­кратные ошибки
5	4	0	Обнаруживать четырехкратные ошибки

Идея построения кода с данной корректирующей способностью, следовательно, заключается во внесении в него такой избыточности, которая обеспечила бы рас­стояние между любыми кодовыми комбинациями данного кода не менее dmin. К сожалению, вопрос об определе­нии минимального количества избыточных символов не решен. Существует лишь ряд верхних и нижних оценок (границ):

1) граница Хэмминга

rlog₂(1+Cⁱ_n), где 1i(dmin-1)/2;

2) граница Плоткина

r2d–2 -log₂d;

3) граница Элайеса

rlog₂ C^m_nlog2d, гдеm= 0,5n( 1- 1-2(d-1)/2 );

4) граница Варшамова—Гильберта

rlog₂(1+Cⁱ_n), где 1idmin-1.

Экспериментально установлено, что наиболее близ­кие значения дает граница Варшамова — Гильберта. Все приведенные границы позволяют сделать вы­вод, что при выполнении одного из приведенных условий имеется возможность построить код с данными параметрами.

Для кодов с dmin= 3 получено точное соотношение между числом проверочных символов r и длиной кодаn:

r log₂ (n + 1).