5.8. Дискретизация по критерию наибольшего отклонения

В процессе дискретизации непрерывная функция u(t), имеющая (n+1) ограниченных производных, аппроксимируется многочленом

n-й степени. В зависимости от выбранного способа восстановления он может быть интерполирующим или экстраполирующим. Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно указывается ее допустимое значениеε₀.

Погрешность восстановления Δ_u(t) функцииu(t) многочленомu*(t) на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членомL_n(t):

Δ_u(t)=L_n(t)=u(t)-u*(t). (153)

Следовательно, шаг дискретизации должен быть выбран из условия L_n(t)≤ε₀.

Выбор аппроксимирующего многочлена более высокой степени при малой допустимой погрешности ε₀обеспечивает меньшее число отсчетов, однако при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой, первой и второй степеней (ступенчатая, линейная и параболическая аппроксимации соответственно).

Преимущества и недостатки использования интерполирующих и экстраполирующих многочленов указывались ранее. В качестве интерполирующих чаще других используются многочлены Лагранжа, а в качестве экстраполирующих — многочлены Тейлора.

Дискретизация с использованием интерполирующих многочленов Лагранжа. Интерполирующий многочлен Лагранжа при равномерной дискретизации может быть записан в виде

(154)

где

λ=(t-t₀)/Δ,Δ=t_j-t_j-1,j=0,1,...,n.

Значение остаточного члена L_n(t)

(155)

где M_n+1 —максимальный во всем интервале преобразования модуль (n+1)-й производной сигналаu(t).

Пример.Определить шаг равномерной дискретизации на основе интерполирующих многочленов Лагранжа нулевой степени.

Значение восстанавливающей функции u*(t) в любой момент времениtна каждом j-м интервалеt_j-1≤t≤t_jпринимается равным отсчетуu(t_j) (рис.5.6). Получим выражение для остаточного члена:

L₀≤M₁|t-t₀|. (156)

Его максимальное значение пропорционально шагу дискретизации. Оно не должно превышать ε₀. Отсюда условие, определяющее шаг дискретизации

Δ≤ ε₀ /M₁. (157)

Рис.5.6 Нулевая степень многочлена Рис.5.7 Многочлен первой

степени

Если проводить восстановление сигнала u(t) по двум отсчетам, пользуясь функциями

u*(t)=[u(t_j)+u(t_j-1)]/2 , t[t_j-1,t_j], (158)

то при том же шаге дискретизации погрешность восстановления уменьшится вдвое (рис.5.7).

Пример.Определим шаг равномерной дискретизации с помощью интерполирующих многочленов Лагранжа первой степени.

При восстановлении исходного сигналаu(t) на каждом интервале времени [t_j-1,t_j] используются два отсчетаu(t_j) и u(t_j-1).Они соединяются прямой линией (рис.5.7). Максимальное значение для остаточного членаL^л_{1 max}найдем, приравняв нулю его производную:

(159)

откуда допустимый шаг дискретизации

(160)

5.9. Дискретизация с использованием экстраполирующих многочленов Тейлора

Экстраполирующий многочлен Тейлора определяется выражением

(161)

где uⁿ(t₀) —n-я производная сигналаU(t) в момент времениt₀.

Оценка снизу для остаточного члена имеет вид

(162)

Пример. Определим шаг равномерной дискретизации на основе многочлена Тейлора нулевой степени.

Значение восстанавливающей функции u*(t) в любой момент времениtна каждомj-м интервалеt_j-1≤t≤t_jпринимается равнымu(t_j-1) (рис.5.8).

Значение остаточного члена L^T_{0 max}достигает максимума в конце интервала (приt=t_j):

(163)

поэтому шаг дискретизации должен удовлетворять условию

Δ≤ε0/M1.

Рис.5.8. Нулевая степень Рис.5.9. Первая степень

Пример. Определим шаг равномерной дискретизации с помошью многочлена Тейлора первой степени.

При восстановлении сигнала u(t).помимо отсчетаu(t₀) используется значение первой производной в момент времениt₀—u'(t₀).

Максимум значения остаточного члена

(164)

достигается при t=t_j. Соответственно получаем соотношение для шага дискретизации

(165)

Восстановление сигнала происходит без задержки во времени (рис.5.9). Однако по сравнению с интерполяционным методом для него требуется вдвое большее число отсчетов.