6.4.3. Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с произвольными весами для всех пар вершин (алгоритм Флойда)

     Функция находит пути минимального веса в графе G=(V,E), заданном весовой матрицей w, у которой элемент w_{i j} равен весу ребра, соединяющего i-ю и j-ю вершины. При этом полагаем, что W[i,i]=0 для всех i. Путь ищется для всех пар вершин графа. Для бесконечности используется число GM, его можно задавать в зависимости от конкретной задачи.

Следует заметить, что если в графе существует контур отрицательной сумарной длины, то вес любого пути, проходящего через вершину из этого контура, можно сделать сколь угодно малой, "прокрутившись" в контуре необходимое количество раз. Поэтому поставленная задача разрешима не всегда. В случае, описанном выше, алгоритм Флойда прекращает свою работу. Останавливаясь подробнее, надо заметить, что если граф неориентированный (W[i,j]- симметрична), то ребро с отрицательным весом является как раз таким контуром (туда-сюда можно бегать пока не сделаем вес достаточно малым)

    Алгоритм Флойда предполагает последовательное преобразование матрицы весов W. В конечном итоге получаем матрицу, элементы d[i,j] которой представляют из себя вес минимального пути соединяющего i и j вершины. Рассмотрим преобразования матрицы весов:

D⁰=W

d^m+1[i,j]=min{d^m[i,j], d^m[i,(m+1)] + d^m[(m+1),j]},

где i<>j; d^m+1[i,i]=0.

Преобразование проделывается для m=1..n, где n - мощность множества вершин графа. Если на некотором шаге получим отрицательное d^m[i,m]+d^m[m,i] для какого-нибудь i, то в графе существует контур отрицательного веса, проходящий через вершину i, и задача не разрешима.

На выходе получаем матрицу D минимальных весов и матрицу P, при помощи которой можно востановить путь минимального веса следующим образом: значение p[i,j] будет равно номеру предпоследней вершины в пути между i и j (либо p[i,j]=i, если путь не существует). Переменная s на выходе равна 1, если алгоритм отработал полностью, и нулю, если в ходе работы алгоритма найден контур отрицательного веса.     Заметим, что если граф неориентированный, то W, а также все матрицы получаемые в результате преобразований, симметричны и, следовательно, достаточно вычислять только элементы, расположенные выше главной диагонали.

6.4.4. НахождениеKпутей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена)

    Алгоритм предназначен для нахождения К путей минимальной длины во взвешенном графе между вершинами u1,u2. Ищутся пути, которые не содержат петель.     Итак, задача состоит в отыскании нескольких минимальных путей, поэтому возникает вопрос о том чтобы не получить путь, содержащий петлю, в случае поиска одного пути минимального веса это условие выполняется по необходимости, в данном же случае мы используем алгоритм Йена, позволяющий находить K кратчайших простых цепей.

 Работа алгоритма начинается с нахождения кратчайшего пути, для этого будем использовать уже описанный алгоритм Дейкстры. Второй путь ищем, перебирая кратчайшие отклонения от первого, третий - кратчайшие отклонения от второго, и т.д.

Более точное пошаговое описание:

1. Найти минимальный путь P₁=(v¹₁,...,v¹_L[1]). Положить k = 2. Включить P₁ в результирующий список.

2. Положить MinW равным бесконечности. Найти отклонение минимального веса от (k–1)-го кратчайшего пути P_k-1 для всех i=1,2,...,L[k-1], выполняя для каждого i шаги с 3-го по 6-й.

3. Проверить, совпадает ли подпуть, образованный первыми i вершинами пути P_k-1, с подпутем, образованным первыми i вершинами любого из путей j=1,2,...,k–1). Если да, положить W[v^k-1_i,v^j_i+1] равным бесконечности, в противном случае ничего не изменять (чтобы в дальнейшем исключить получение в результате одних и тех же путей). 4. Используя алгоритм нахождения кратчайшего пути, найти пути от v^k-1_i к u2, исключая из рассмотрения корни (v^k-1₁,...,v^k-1_i) (чтобы исключить петли), для этого достаточно положить равными бесконечности элементы столбцов и строк матрицы W, соответствующие вершинам, входящим в корень.

5. Построить путь, объединяя корень и найденное кратчайшее ответвление; если его вес меньше MinW, то запомнить его.

6. Восстановить исходную матрицу весов W и возвратиться к шагу 3. 7. Поместить путь минимального веса (MinW), найденный в результате выполнения шагов с 3 по 6, в результирующий список. Если k = K, то алгоритм заканчивает работу, иначе увеличить k на единицу и вернуться к шагу 2.

    Алгоритм использует массив p для результирующего списка путей, и массив l для хранения соответствующих длин, при этом, если начиная с некоторого i элементы l[i] равны -1, значит существует только i-1 кратчайших путей без петель.