3.Если нет ограничений на знак xk, то надо заменить xk на разность двух неотрицательных переменных. При этом размерность задачи увеличивается на 1.
4.Ограничения типа "вилка". Если dk ≤ xk ≤ Dk , то заменим это условие
на два:
dk ≤ x k |
или |
′ |
′ |
|
и |
x k = x k − d k ≥ |
0, x k ≥0 |
||||
x k ≤ Dk |
или |
′′ |
′′ |
≥ 0 . |
|
x k = Dk − x k |
≥ 0, x k |
||||
Условия разрешимости ЗЛП |
|
|
|||
Пусть |
P ={x : Ax = b, x ≥ 0}- множество допустимых планов, P0 - множест- |
||||
во всех оптимальных планов. Возможны случаи: 1). P = ЗЛП недопустима;
2). P ≠ ЗЛП допустима:
P 0 ≠ ЗЛП разрешима,
P 0 = ЗЛП неразрешима.
ПРИМЕР 2.2
f (x) = x1 + 2x2 → max ,
x1 + x2 ≤1, x1 >1, x2 ≥ 0.
P = ЗЛП недопустима.
ПРИМЕР 2.3
f (x ) = x1 +2x 2 → max ,
x1 + x2 ≤1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
ЗЛП допустима и разрешима: x 0 = (0,1), f (x 0 ) =2 .
2.3. Основные свойства ЗЛП
Теорема 1
P - множество допустимых планов ЗЛП выпукло, если оно не пустое
( P ≠ ).
4
Теорема 2
P0 - множество оптимальных планов выпукло, если оно не пустое
( P0 ≠ ).
Следствие. Если оптимальный план не единственный, то множество оптимальных планов не может быть конечным.
Теорема 3 (Условие существования оптимального решения)
Если целевая функция ЗЛП на max(min) ограничена сверху (снизу)
на P , то ЗЛП имеет оптимальное решение x0 P0 .
В задачах ЛП особую роль играют вершины допустимого множества P . Вершиной выпуклого многогранника P в пространстве R n называется такая точка, которая не является внутренней для любого отрезка, целиком принадлежащего этому многограннику. С понятием вершины связано важное свойство ЗЛП.
Теорема 4. Если допустимое множество P ≠ и имеет хотя бы одну вершину и P0 ≠ , то оптимум достигается в одной из вершин P .
2.4.Симплекс–метод решения ЗЛП
2.4.1.Обоснование симплекс–метода решения ЗЛП
CT → max,
A1 x1 +... + An xn = b, x ≥ 0.
|
a |
|
|
Aj |
1 j |
(2.5) |
|
= ... |
. |
||
|
|
|
|
|
amj |
|
|
Здесь m < n , т.е. число ограничений меньше числа переменных.
Пусть задача (2.5) допустима и rang A = m , т.е. существует набор ( A j1,..., A jm ) m линейно независимых векторов или det( A j1,..., A jm ) ≠ 0 .
Определения Опорным решением назовем ненулевое допустимое решение задачи (2.5), ес-
ли для x jk > 0 набор векторов {Aj1,...Ajl }, k =1, l составляет линейно независи-
мую систему. Опорное решение называется невырожденным, если оно имеет точно m положительных координат x j > 0 .
5
Базисом опорного решения |
назовем упорядоченный набор из m линейно не- |
|||||||
зависимых векторов Бx |
={A j1 ,...A jm }, соответствующих x jk > 0, k =1, m |
. |
||||||
ПРИМЕР 2.4. Пусть задана система ограничений: |
||||||||
2x1 + x2 +3x3 = 2, |
|
|
|
|
||||
x1 −2x3 + x4 =1, |
|
|
|
|
|
|||
xi ≥ 0, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,4), |
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
3 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
0 |
−2 |
1 |
, b |
= |
, |
||
1 |
|
|
1 |
|||||
rang A = 2 = m.
Возьмем допустимые решения:
x(1) = (0,2,0,1), x(2) = (1,0,0,0), x(3) = ( 12 ,1,0, 12 ).
x(1) P, Бx1 = (A2 , A4 ) - линейно независимая система, т.е. x (1) - опорное ре-
шение (ОР).
x(2) |
P, |
Б |
12 |
= ( A , A ), |
det(Б |
2 |
) = |
|
2 |
1 |
|
≠ 0 |
||
|
|
|
x |
1 |
2 |
x |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x (2) - ОР, Б1x2 = ( A1 , A2 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(2) |
P, |
Б |
22 |
= ( A , A ), |
det(Б |
2 |
) = |
|
2 |
3 |
|
≠ 0 |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
3 |
x |
|
|
|
1 |
− 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x(2) - ОР, Бx22 = ( A1, A3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(2) |
P, |
Б |
32 |
= ( A , A ), |
det(Б |
2 |
) = |
|
2 |
0 |
|
≠ 0 |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
4 |
x |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x(2) - ОР, Бx32 = ( A1 , A4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x (3) |
не является опорным решением (три координаты x j > 0) . |
|||||||||||||
Теорема 5. Для того чтобы вектор x = (x1,..., x n ) являлся опорным реше-
нием ЗЛП (2.1) - (2.3), необходимо и достаточно, чтобы точка x была вершиной ее допустимого многогранника P .
6
Доказательство. Необходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть x |
- опорное решение ЗЛП. Требуется доказать, что x |
- вершина P . |
||||||||||||||
|
1. |
Если |
|
x = 0 , |
то |
представление |
ее |
внутренней точкой |
отрезка |
|||||||
[x(1) , x(2) ]: x =αx(1) +βx(2) , где α > 0, β > 0, α+β =1, |
невозможно, если |
x (1) ≠ x (2 ) , |
||||||||||||||
x (1) , x (2 ) |
P . Следовательно, |
x - вершина P . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2. |
Пусть |
|
x ≠ 0 - |
опорное решение: x = (x1,...x k ,0,...0) , |
где xi |
> 0, |
i = |
|
, |
||||||
|
|
1, k |
||||||||||||||
k ≤ m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство от противного. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть x |
- внутренняя точка отрезка [x(1) , x(2) ] P . |
|
|
|
|
|
||||||||||
x(1) |
= (x(1) ,..., x(1) ,0,...,0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(2) = (x(2) ,..., x |
(2) |
,0,...,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда x = αx(1) |
+βx(2) , где α > 0, β > 0, α +β =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x (1) , x (2 ) P |
по условию (2.5) , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x(1) |
A +... + x |
(1) A |
|
= b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(2) |
A +... + x(2) |
A |
|
= b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычтя равенства почленно, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x1(1) − x1(2 ) )A1 +... + (x k(1) − x k(2 ) )Ak |
= 0 , x (1) ≠ x (2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
r : (x r(1) |
− x r(2 ) )≠ 0 ( A1, A2 ,..., Ak ) |
- |
линейно зависимые векторы, |
|||||||||||
что противоречит тому, что x = (x1 ,..., x k ,0,...,0) |
- |
опорное решение. Следователь- |
||||||||||||||
но, допущение о том, что x - внутренняя точка, неверно, т.е. |
x - вершина P . |
|||||||||||||||
|
В симплекс-методе алгоритм предполагает переход от одной вершины к |
|||||||||||||||
другой так, что базис нового опорного решения будет отличаться от старого только одним вектором. Это соответствует переходу от одной вершины многогранника к другой, лежащей на том же ребре.
Лемма 1. |
Пусть дана система m-мерных |
векторов {A1 ,...An }, n > m , |
rang A = m , |
x - опорное решение ( x P ), и его |
базис Bx(r ) = ( A1 ,..., Ar ,..., Am ) |
включает в себя r-ю компоненту. Перейдём к решениюx′, заменив в базисе вектор Ar на As :
7