3.3.2. Ограничения на глубину связи в схеме

Формализуем понятие глубины связей в схемах следующим образом. Рассмотрим схемы, не имеющие обратных связей. Элементы таких схем можно однозначно разбить на группы, называемые рангами или ярусами, по следующему правилу. К нулевому ярусу (рангу) относим входные полюса схемы. Элементы, входы которых связаны только с входными полюсами, отнесем к первому ярусу. В общем, к элементу i-го яруса отнесем все элементы, входы которых связаны только с выходами элементов (i--1)-го и, может быть, элементов нижних ярусов. Если выход элементаi-го уровня связан с входом элементаj-го уровня, то длину этой связи оценим числом (i-j), названным глубиной связи. Если на схему задано ограничение на глубину связи, это означает, что рассматриваются только такие схемы, в которых глубина связи не превосходит заданной величины

Если рассматривать модель схемы, в которой функционирование происходит в дискретном времени по тактам и элементам приписаны единичные задержки, то ранг элемента определяет такт, в котором на его выходе реализуется выходной сигнал, а ограничение на глубину связей определяет максимальный разброс времени поступления дискретных сигналов на входы элементов схемы, равный (-1). Если= 1, то величина этого разброса равна нулю.

Определим, как изменятся требования к множеству функций, порождающих класс всех булевых функций, если рассматривать только такие их суперпозиции, которым соответствуют схемы с ограниченной глубиной связи, в частности схемы с глубиной, равной единице.

Вслед за Постом, определим булеву функцию как -функцию, еслиf(x,x,x,...x) =x,-функцию, еслиf(x,x,...,x)=1,- функцию, еслиf(x,x,...,x) = 0 и как- функцию, еслиf(x,x,...,x) = `x, где `x-инверсиях.

Очевидно, что если базис содержит хотя бы одну -функцию, он является функционально полным при условии, что глубина связи=1, так как из этой функции реализуется функция, равная переменной (повторитель или задержка), и, следовательно, любую связь можно свести введением этих функций к последовательности связей единичной глубины.

Теорема. Любой полный базис из более чем одной функции порождает С при = 1, за исключением случая, когда базис содержит ровно две функции : функцию нелинейную и несамодвойственную и функцию, не сохраняющую константу, причем последняя не равна константе и не есть-функция. Одноэлементный базис при условии = 1 неполон.

Следующие утверждения будут нам необходимы при доказательстве:

У1. Если функция самодвойственная, то она или - или-функция. Утверждение следует из того, чтоf(0,0,...,0)f(1,1,...,1).

У2. Линейная функция есть - или-функция тогда и только тогда, когда она самодвойственная,- или-функция тогда и только тогда, когда она несамодвойственная. Утверждение следует из определения линейной функции и того, что в первом случае сумма будет содержать нечетное число сомножителей, во втором случае – четное.

У3. Если - или-функция отлична от константы, то она немонотонна. Утверждение следует из того, что эта функция будет иметь одинаковые значения на нулевом и единичном наборах, которые сравнимы со всеми наборами и являются, соответственно, максимальным и минимальным.

У4. -функция является немонотонной и не сохраняет константы.

У5. Из линейной функции заменой некоторых переменных на константу 0 можно получить переменную (-функцию). Из нелинейной функции для получения-функции необходимо иметь обе константы.

Доказательство проведем в несколько этапов. Вначале покажем, что если базис содержит более двух элементов, то среди его функций обязательно есть -функция, то есть он полон при  Затем более подробно разберем двухэлементные базисы, не содержащиефункций. В конце доказательства рассмотрим одноэлементные базисы.

Пусть базис i|i=1,кик> 2. Покажем, что он содержитфункцию.

Разделим базисы на две группы в зависимости от того, какова в нем нелинейная функция (обозначим ее как ₁):

а.₁является самодвойственной;

б.₁– функция несамодвойственная.

Случай а.По свойству 1 функция₁ или- или-функция. Если это--функция, то она немонотонная, не сохраняет константы, и в базис достаточно добавить несамодвойственную функцию, то есть базис будет иметь только две функции.

Случай б.Если₁-функция, то она по свойству У4 одна является полным базисом. Если₁- или-функция, то по свойству У3 она немонотонна и не сохраняет одну константу. В этом случае в базис нужно добавить только функцию, не сохраняющую вторую константу.

Утверждение 1 доказано. Рассмотрим теперь базисы, содержащие ровно две функции и не содержащие -функций. Обозначим их как={₁,₂}.

Снова разделим рассмотрение на два случая: а) функция ₁ –несамодвойственная и линейная,₂ - функция самодвойственная и нелинейная. Случай б) функция₁– несамодвойственная и нелинейная,₂- не сохраняет константу.

Случай а).По свойству У2 функция₂является-функцией, значит на втором уровне можно получить инверсии переменных. Функция₁ является- или-функцией, значит на втором уровне можно получить одну из констант. На третьем уровне с помощью этих функций получаем переменные и обе константы (вторую – через инверсию первой). С помощью констант из линейной функции можно получить на четвертом и всех последующих уровнях-функцию (повторитель), чем и обеспечивается полнота базиса для этого случая.

Случай б.

функция ₁– несамодвойственная, нелинейная и не-функция (иначе она одна – базис). Значит это- или-функция. Если при этом₂есть- или-функция , то на втором уровне можно получить только такие функции, которые имеют значения на нулевом наборе такие же, как и на единичном. Значит, на следующих уровнях из них не удастся получить- или-функции и полнота обеспечена не будет.

Если же функция ₂есть-функция, то на втором уровне могут быть получены инверсии переменных и константа, на третьем – переменные и обе константы, которые позволят по свойству У5 получить повторитель на всех последующих уровнях.

И, наконец, если функция ₂есть константа, то она есть на первом уровне вместе с переменными. С ее помощью из функции₁можно получить на втором уровне инверсии переменных и обе константы, которые обеспечат полноту.

Для одноэлементного базиса, реализующего только -функцию, на первом ( и всех нечетных ) уровне можно реализовать только-функции, на втором (и всех четных) уровне реализуются только-функции. В этом базисе приникогда не реализуютсяифункции. Значит, полнота обеспечена быть не может.

При  функциональная полнота обеспечивается для любого функционально полного в смысле Поста базиса.

Теперь понятно, почему нельзя реализовать любую функцию из элементов шефферовского типа в однородных двумерных решетках как на рис.3.4

Здесь любая схема будет иметь   , и для получения схем с глубиной связи, равной двум, нужно решетку дополнить диагональными связями,

например, как это показано на рис. 3.5.