3.2.2. Деревья

Определение.

Неориентированным деревом называют граф, удовлетворяющий одному из условий:

• связный граф без циклов;

• связный граф из n вершин и (n-1) ребра;

• граф, в котором любые две вершины связаны ровно одной цепью.

Задача. Докажите, что все три условия описывают один и тот же объект и что из того, что граф обладает одним из этих свойств, следуют два других.

Ориентированным деревом называют связный граф, в котором в каждую вершину, кроме одной, называемой корнем дерева, заходит ровно одна дуга. В корень дерева ни одна дуга не заходит.

Вершины, из которых не выходит ни одна дуга, называются листьями.

Деревья используются для описания структур организаций, предприятий и др. Такие структуры называются иерархическими. Примером может быть структура управления, где корень дерева - управляющий, с ним связаны непосредственно подчиненные ему руководители - вершины 1-го уровня, которым, в свою очередь непосредственно подчинены другие - вершины 2-го уровня и так вплоть до исполнителей нижнего уровня – листьев. Дерево образует структура предприятия, где корень - само предприятие, под ним - входящие в него цехи и службы, ниже - входящие в цехи участки и т.д. Принято дерево изображать корнем вверх.

3.2.3. Дерево решений

Вжизни мы постоянно сталкиваемся с проблемой принятия решения из множества возможных решений - с проблемой выбора. В результате выбора мы попадаем в новую ситуацию, когда снова нужно делать выбор.

Возможности выбора при решении проблемы можно представить в виде дерева, где в корне – проблема, дуге соответствует один из вариантов выбора, вершине - новая ситуация, возникающая в результате реализации приписанного дуге варианта. Такой трактовке соответствует граф типа дерева, получивший название «дерево решений». Предположим, что можно оценить эффективность принятого выбора. Тогда возникает задача поиска среди возможных путей от корня (когда проблема поставлена) к одному из листьев (когда проблема решена) пути, имеющего оптимальную оценку.

Стратегии поиска по дереву решений.

Предположим, что дерево решений очень велико, поэтому поиск путём полного перебора всех возможных решений невозможен. Рассмотрим стратегии поиска, связанные с сокращённым перебором решений: метод ветвлений и метод ветвей и границ.

Метод ветвлений. Поиск начинается от корня дерева. Выбирают минимальную по стоимости исходящую дугу и по ней переходят к следующей вершине. Если эта вершина не является листом, снова переходят по минимальной исходящей дуге, пока не будет достигнут лист. Алгоритм очень просто реализуется, но очевидно, что при этом решение может быть далёким от минимального.

Пример. Определим по методу ветвления путь в дереве на рис.3.6. Путь пройдет по вершинам 1,3,8,16 и равен 21.

Метод ветвей и границ. На каждом шаге выделяется множество вершин в качестве границы, веса вершин которой оцениваются длиной пути до неё от корня, на границе находится вершина с минимальной оценкой. Если эта вершина является листом, то решение найдено – путь до этого листа и будет минимальным решением, если нет, то строится новая граница заменой найденной вершины на вершины, связанные с ней по исходящим дугам, и поиск решения продолжается. Метод гарантирует получения минимального решения, однако часто связан с большим объёмом вычислений.