Линеаризация векторно-матричных уравнений

Используется идея разложения в ряд Тейлора функции многих переменных.

Если – входная переменная, и – известное решение, то можно найти решение для небольших отклонений.

удовлетворяет уравнению ,

, – малые отклонения (приращения) координат системы. Представим,, начальные условия. Подставим эти значения в уравнение состояния и разложим в ряд Тейлора:

В этом выражении:

–матрица из частных производных от функции по переменным состояния,;

–матрица из частных производных функции по входной переменной,;

–члены второго и более высокого порядка малости.

Вычитаем базовое решение, пренебрегаем малыми элементами и получаем линейную связь для отклонений:

.

Аналогично проводится линеаризация уравнения выхода:

,

–матрица частных производных функции выхода по состоянию, ,

- матрица частных производных функции выхода по переменным входа, .

После вычитания базового решения, исключения компонент (члены второго и более высокого порядка) малости получим уравнение выхода:

В обоих линейных уравнениях матрицы зависят от базового решения и в общем случае являются функциями времени.

Графически систему, описываемую векторно-матричными уравнениями можно представить в следующем виде:

Рисунок 3. 11. Графическое представление векторно-матричных дифференциальных уравнений

В соответствии со схемой матрицы имеют следующие названия:

А – матрица динамики системы, её собственные значения определяют характер процессов в системе;

В – матрица входа;

C– матрица выхода;

D– матрица обхода.

Математические модели некоторых реальных объектов

В качестве примеров составления векторно-матричных уравнений рассмотрим смесительный бак и неустойчивый маятник.

Математическая модель смесительного бака

Рисунок 3. 12. Смесительный бак

F₁(t) ­– расход вещества по первому входу,

C₁– концентрация вещества по первому входу,

F₂(t) – расход вещества по второму входу,

C₂– расход и концентрация вещества по второму входу,

F(t) – расход вещества на выходе из бака,

C(t) –концентрация вещества на выходе из бака, считается, что концентрация на выходе и в баке одинакова.

Уравнение баланса объемов:

Уравнение баланса масс вещества:

Необходимо связать скорость расхода выходного вещества с баком, точнее с его конфигурацией.

Экспериментально установлено, что мгновенный расход выходного потока зависит от высоты следующим образом:

где k – экспериментальная постоянная;

S– площадь сечения дна бака;

V,Cпримем за переменные состояния.

Далее проводим линеаризацию

За базис примем установившееся состояние при следующих значениях входных переменных

Решение статики или базовое решение обязательно выполняется для исходных нелинейных уравнений.

Уравнение статики:

kиS– приняты такими, чтобыV₀=1м³, аf₀=0.02 м³/сек

Далее линеаризация:

Линеаризованные уравнения в рабочей точке имеют вид:

В дальнейшем индекс ∆ будем опускать. Необходимо иметь в виду, что речь идет о малых отклонениях около рабочей точки.

Математическая модель неустойчивого маятника

Рассматривается тележка, на которой закреплен вертикальный стержень.

Тележка перемещается в горизонтальном направлении, стержень может отклоняться в вертикальной плоскости. За счет передвижения тележки можно добиться, что стержень будет находиться в вертикальном положении.

(t) - угол отклонения, L - длина до центра тяжести, m - масса, V - вертикальная реакция, H - горизонтальная реакция, S - перемещение тележки, F - коэффициент трения, M - момент, (t) - внешняя сила, О₁- центр масс

В итоге получаем:

Cучетом обозначений получим следующие нелинейные уравнения:

Эти уравнения нужно привести к следующему стандартному виду:

Для нашего уравнения получили систему уравнений первого порядка, уравнения нелинейные.

Следующий этап ‑ линеаризация.

Базовое состояние ‑ номинальное решение:

;

Методические замечания.

1. Выбор вектора состояния может быть поведен различным образом.

2. Линеаризацию можно провести до выбора переменных состояния.

Например, для маятника проведем сначала линеаризацию исходных уравнений, введем другие переменные состояния.

Базовое решение известно: ,,,,

Раскладываем тригонометрические функции в ряд вблизи нуля и получаем:

В результате получены другие матрицы системы, но собственные значения матрицы динамики А, полученные для различных вариантов задания состояния будут одинаковыми.