2. Построение годографа комплексной функции

Предлагается изобразить график комплекснозначной функции вещественного аргумента  на комплексной плоскости при изменении этого аргумента от 0 до . Такой график называют годографом функции, который представляет траекторию конца вектора комплексной функции при изменении параметра [0,). График должен иметь качественный вид, отражать начало, примерное прохождение и окончание функции.

Функции являются дробно-рациональными. Удобно представить их в виде произведения более простых функций и в показательной форме. Построить годографы этих составляющих, а затем объединить их в итоговый годограф, учитывая, что при умножении модули также перемножаются, а аргументы складываются.

Поясним на небольшом примере

.

Годограф первой функции на комплексной плоскости выглядит как прямая линия, начинающаяся в точке 2 на вещественной оси и уходящая вертикально вверх.

Годограф второй составляющей строится в два этапа: сначала один знаменатель (j-1), что дает аналогичный годограф, только начинающийся из точки –1, затем берем обратную функцию, что при показательном представлении означает следующее: модуль будет обратным и меняться от 1 до 0 (у знаменателя от 1 до ), а у аргумента будет меняться знак от –180 до –90 ( у знаменателя от 180 до 90). Таким образом, годограф z₂ представляет полуокружность.

Объединяем z₁ и z₂ : модули перемножаем, фазы складываем, получаем полуокружность с начальным модулем 2, фазой –180, и конечным модулем 1, фазой 0. Угол меняется против часовой стрелки. Здесь же покажем и z₃ : сначала j – годограф проходит по мнимой оси в положительном направлении, а затем обратную, так как z₃ = 1/ j : модуль меняется от  до 0, а фаза постоянна и равна -90.

На последнем этапе объединяем z₁z₂ и z₃: можно z₁z₂ повернуть на -90, начальный модуль устремить к , фаза -270, конечный модуль будет равен 0, а фаза -90. Качественный вид итогового годографа показан ниже.

3. Решение дифференциального уравнения с использованием операционного исчисления

Основным достоинством операционного исчисления является возможность алгебраизации дифференциальных уравнений. Это означает, что после перехода в область изображений используются только алгебраические операции и находится изображение решения дифференциального уравнения, при этом автоматически учитываются начальные условия. Таким образом, решение дифференциального уравнения разбивается на два этапа: получение изображения решения и определение оригинала по изображению.

На первом этапе при алгебраизации дифференциального уравнения пользуются стандартными формулами:

Здесь через L обозначено применение к функции преобразования Лапласа, т.е. переход к изображению. Изображение функции в правой части дифференциального уравнения можно найти по таблицам, которые есть как в учебной литературе по математике, так и в литературе по теории управления [1-6].

На втором этапе определения оригинала по изображению в случае дробно-рациональной функции можно воспользоваться формулой на основе вычетов:

.

В этой формуле l-количество различных полюсов функции Y(s), k_i – кратность i–го полюса.

Другим способом является разложение изображения на простые слагаемые и нахождение по таблице оригинала каждого слагаемого. В случае вещественных кратных полюсов количество слагаемых равно кратности полюса, каждое слагаемое в знаменателе имеет сомножитель

.

В случае комплексных полюсов слагаемое должно быть приведено к табличному виду с помощью выделения полного квадрата:

.

Далее остается разложить на два слагаемых, чтобы в числителе были табличные выражения.