Запасы устойчивости и критические значения параметров.

Критическим значением варьируемого параметра системы называют такое его значение, при котором система находится на границе устойчивости. Необходимое условие существования границы устойчивости – прохождение годографа через точку . Поэтому эту точку называют критической.

Удаленность исследуемой системы от границы устойчивости определяет характер процессов в замкнутой системе.

Удаленность оценивается запасами устойчивости:

1. Запас устойчивости по модулю на частоте, где фаза вектора равна;

2. Запас устойчивости по усилению , который показывает во сколько раз можно увеличить коэффициент передачи, чтобы система оказалась на границе устойчивости;

3. Запас устойчивости по фазе - угол, на который необходимо повернуть(длина его равна 1), чтобы АФХ прошла через критическую точку.

Запасы устойчивости по логарифмическим характеристикам

Запасы устойчивости легко определяются по ЛЧХ.

Для системы, рассмотренной выше, ЛЧХ выглядит следующим образом:

Запас по фазе определяется на частоте среза, а запас по амплитуде – на частоте , где фазовая характеристика пересекает .

Запас по модулю показывает, во сколько раз нужно увеличить коэффициент передачи, чтобы система попала на границу устойчивости.

Раздел 8. Анализ и синтез линейных систем методом корневого годографа

Метод корневого годографа, основные правила построения корневых годографов. Примеры анализа систем методом корневого годографа. Применение метода в практике проектирования и оценка эффективности использования в современных условиях

Метод корневого годографа, основные правила построения корневых годографов

Корневой годограф(КГ) предназначен для качественного и количественного анализа и синтезалинейных систем(ЛС). Базовая структура:

Рисунок 8. 1. Базовая структура линейной системы

Передаточная функция записывается через нули и полюсы:

,

нули (z_i) и полюсы (p_i) дляразомкнутой системы(PC).

Для реальных систем m ≤n. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

У замкнутой и разомкнутой систем нули совпадают, а полюсы нет.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

(8.1)

(8.2)

Это два вида характеристического уравнения. Если мы будем менять K, то нули замкнутой системы сохраняются и равны нулям разомкнутой системы, полюсы же замкнутой системы меняются.

Корневой годограф системы(КГ) – геометрическое место точек, образованное полюсами передаточной функции замкнутой системы при изменении коэффициентаK,K[0,∞)

Точка, принадлежащая корневому годографу, удовлетворяет уравнению (8.2), которое запишем в виде KW(s) = -1, которое распадается на два:

1.Уравнение модулей:

(8.3)

2.Уравнение фаз:

(8.4)

Число sудовлетворяет этим уравнениям, если находится на корневом годографе. Осталось построить этот годограф.

Свойства корневого годографа

Рассмотрим свойства корневого годографа, позволяющие упростить его построение.

1. Непрерывность и симметричность корневого годографа:

• непрерывность вытекает из теоремы о том, что корни уравнения - это непрерывная функция его коэффициентов;

• у полинома с вещественными коэффициентами могут быть комплексно-сопряженные корни, симметричные относительно реальной оси.

2. Число ветвей корневого годографа равно порядку системы.

3. Начало и окончание корневого годографа.

Ветви корневого годографа начинаются в полюсах разомкнутой системы, mветвей заканчивается в нулях разомкнутой системы, остальные(n-m)ветвей корневого годографа уходят в бесконечность.

Начало:Уравнение (8.1) приK = 0 принимает вид

,

Годограф начинается в полюсах разомкнутой системы.

Окончание:приKстремящемся к бесконечности выражение (8.1) представим в виде

mветвей заканчивается в нулях разомкнутой системы, оставшиесяn-mветвей уходят в бесконечность (это следует из того, что в характеристическом уравнении можно оставить только высшие степени):

(8.5)

(n-m)корней будут в бесконечности.

4. Наклоны асимптот, уходящих в бесконечность.

Из (8.4) следует

5. Точка пересечения асимптот с вещественной осью - h.

Она находится из рассмотрения уравнения (8.1) с учетом высшей и предшествующей ей степеней s.

(из теоремы Виета)

.

6. Углы выхода корневого годографа из полюсов разомкнутой системы.

Вновь рассмотрим уравнение (8.1)

,

которое можно записать как неявную функцию от sиK:F(K, s) = 0.

Угол выхода есть аргумент производной от годографа в точке выхода корневого годографа из выбранного полюса p_i^*

.

По правилу дифференцированных неявных функций:

;

7. Углы входа корневого годографа в нули разомкнутой системы.

В уравнении (8.1) вынесем Kза скобки и введем обозначение:

При , а уравнение (8.1) будет иметь вид:

(8.6)

Уравнение (8.6) можно записать как неявную функцию от sи:F(,s) = 0.

Угол входа есть аргумент производной от годографа в точке входа корневого годографа в выбранный нуль z_i^*

;

поэтому .

8. Значение коэффициента передачи K на корневом годографе.

Обозначим точку на корневом годографе, тогдапри соответствующемK – удовлетворяют уравнению

9. Участки вещественной оси, принадлежащие корневому годографу.

При K > 0 корневому годографу принадлежат участки вещественной оси, лежащие левее нечетного числа полюсов (p_i,z_i); приK< 0 – участки, лежащие левее четного числа полюсов и нулей (p_i,z_i), лежащих на вещественной оси.

Доказательство:

;

p_iиz_iполюсы и нули на вещественной оси, комплексные полюсы и нули не влияют на принадлежностькорневому годографу

.

а) K> 0, для того чтобы сохранился знак минус, нужно присутствие нечетного числа множителей;

б) при K< 0 годографу принадлежат участки левее четного числа нулей и полюсов.

10. Правило углов представляет развернутое выражение для уравнения фаз.

11. Правило для определения точки отхода корневого годографа от вещественной оси.

Рассмотрим на примере:

Рисунок 8. 2. Фрагмент корневого годографа для определения точки пересечения вещественной оси

Используется правило углов:

.

Рассматриваются малые приращения этих углов, т.е. дифференциалы:

Далее для малых углов приращения можно выразить через отношение катетов, а для малых углов .

Для рисунка получим

.

Из данного выражения находим -координаты кратного полюса на вещественной оси.