Алгебраические критерии устойчивости

Для оценки устойчивости необходимо вычислить корни уравнения n-го порядка. Формулы для вычисления корней существуют только для 3-го порядка. Далее используются численные методы определения корней.

Для оценки устойчивости достаточно знать не сами корни, а лишь их расположение.

Правила, позволяющие оценить расположение корней без решения характеристического уравнения, называются критериями устойчивости.

Если оценка проводится с использованием коэффициентов характеристического уравнения, то критерии называются алгебраическими.

Необходимые условия устойчивости

Предположим, что система устойчива. Все корни расположены в левой полуплоскости.

Характеристическое уравнения запишем в виде произведения сомножителей:

1. Соответствующих вещественным корням:

;

2. Соответствующих комплексным корням:

Характеристическое уравнение:

.

После перемножения сомножителей с положительными коэффициентами и приведения подобных получим уравнение:

, у которого все коэффициенты положительны.

Таким образом необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

В случае не выполнения необходимых условий система является не устойчивой без дополнительного анализа.

Примечание:

Для системы 1-го и 2-го порядка необходимые условия одновременно являются достаточными.

, корень вещественный и отрицательный;

;

;

, два вещественных отрицательных корня;

, комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью.

Для уравнений 3-го порядка и выше необходимые условия не являются достаточными и нужны дополнительные правила.

Эти правила определяются критерием Гурвица.

Критерий Гурвица

Система будет устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица будут положительны.

1. Задано характеристическое уравнение и необходимое условие выполнено

2. Составление матрицы Гурвица по следующему алгоритму:

• на диагональ коэффициенты, начиная с ;

• вниз от диагонали – коэффициенты с увеличением номера;

• вверх от диагонали – коэффициенты с уменьшением номера;

• составляются определители (диагональные миноры);

an-1	an-3			…	0
an	an-2
		…
			a2
…				a1	0
0				a0	a0

3. Для устойчивости системы необходимо, чтобы все nдиагональных миноров были положительны.

Пример:

Оценить устойчивость системы, имеющей следующую передаточную функцию в разомкнутом виде:

.

1. устойчивость разомкнутой системы

,

характеристическое уравнение системы: ,s₁=0,s₂=s₃=-0,5 .

Один нулевой корень и два “левых”, отсюда следует, что разомкнутая система на границе устойчивости.

2. устойчивость замкнутой системы

характеристическое уравнение замкнутой системы

– необходимое условие выполнено,n =3

Определитель Гурвица:

произведение средних членов должно быть больше чем произведение крайних.

Для заданной системы:

41-24 = -4 < 0 , отсюда следует, что система неустойчива.

Это правило не дает количества корней в правой полуплоскости.

Алгебраический критерий позволяет установить связь между параметрами, при которых система будет устойчива, например для системы

установим связь между коэффициентом передачи К и постоянной времени Т.

Характеристическое уравнение:

Критерий Гурвица используется для систем невысокого порядка (до 5-6).

Существует алгебраический критерий Рауса, который также оценивает устойчивость по коэффициентам. Он удобен для численных расчетов, позволяет определить количество корней в правой плоскости.