Типовая расчетная схема дискретной системы

Рис. 10.7. Схема дискретной системы

Формирователь и непрерывную часть можно объединить в одно звено, которое называют приведенной непрерывной частью (ПНЧ).

Тогда окончательно получаем расчетную схему:

Рис. 10. 8. Расчетная схема

В этой системе u(t), y(t)– непрерывные функции времени. Поскольку дискретная система оказывается замкнутой только в моменты квантованияiT₀, поэтому представляют интерес значения этих функций в эти же моменты времени. Исходя из этого, сигналыu(t) иy(t) искусственно квантуют. Таким образом, сигнал в любой точке системы может быть представлен решетчатой функцией. Поведение этой функции описывается конечными разностями (аналог производной непрерывной функции).

Конечная разность Iпорядка:

Конечная разность IIпорядка:

и т.д.

Разностные уравнения (уравнения движения импульсных систем)

Рис. 10. 9. Импульсная система

Поведение дискретной системы описывается разностными уравнениями ( аналог дифференциального уравнения).

Например:

Поскольку любую конечную разность можно записать через дискреты, то и разностные уравнения можно записать через соответствующие дискреты.

Тогда вторая форма записи разностного уравнения:

Решение аналогично решению дифференциальных уравнений и состоит из двух частей:

y[i]=y _об.[i]+y _частн.[i]

y _об.[i] – общее решение однородного разностного уравнения, свободная составляющая

y _частн.[i] – частное решение неоднородного разностного уравнения, определяется видом входного сигнала, вынужденная составляющая

y_св.[i]=C₁(z₁)ⁱ+C₂(z₂)ⁱ

где C₁,C₂– коэффициенты, определяемые из начальных условий

z₁,z₂– корни характеристического уравнения

Дискретные преобразования Лапласа

Реальной решетчатой функции можно сопоставить изображение, найденное с помощью преобразования Лапласа. В этом случае его называют дискретным.

Таким образом, дискретное преобразование Лапласа сводится к операции суммирования членов бесконечного ряда по . Поэтому удобнее ввести новую векторную переменную:

.

Преобразование решетчатой функции с использованием этой переменной называют Z-преобразованием.

Таблица 10. 1. Z-преобразования некоторых функций

Непрерывная функция времени	Изображение непрерывной функции	Z-преобразование решетчатой функции	Решетчатая функция
δ(t)	1	1	1
δ(t-τ)	e-τs	z-i	δ(t-iT0)
-t 1(t)			1(iT0)
-t e-αt
-T0 te-αt
-T0 1- e-αt			1(iT0)-
cost			cosωiT0
sint			sinωiT0

Переход от одной формы преобразования к другой осуществляется соответствующей заменой переменных.

Некоторые свойства дискретных преобразований.

1. Линейность:

Z{dx₁[i]+bx₂[i]}=aX₁(z)+bX₂(z),

где a,b – константы.

2. Сдвиг во временной области:

Z{x (iT0-kT0)}=z-k X (z),

3. Где k– постоянное число.

Умножение на z^-1соответствует запаздыванию на один такт.

3) Е^*(s) – периодическая функция (частота повторенияω₀ ; период Т₀ ), т. е.

Е^*(s)= Е^*(s+jkω₀),к=0, 1, 2, …

Это означает, что изображение Е^*(s) достаточно анализировать в пределах основной полосы ширинойω₀

плоскость z

+

j

ω₀

0

плоскость s

j

Рис.10. 10. Соотношение плоскости Zи плоскостиS

В плоскости Zотрезок мнимой оси в пределах основной полосы () отображается в окружность единичного радиуса; левая полуполоса – во внутреннюю часть этой окружности; правая полуполоса – во внешнюю часть этого круга.