1.3. Свойства случайных погрешностей

Как и все случайные величины, случайные погрешности характеризуются законами распределения (рис 1.1).

Интегральным законом распределения или интегральной функцией распределения случайной величины F(x) называют значение вероятности события, что случайная величина х будет принимать значения, меньше некоторой фиксированной величины Х.

Выражение закона распределения случайной величины в виде интегральной функции F(x) - самая универсальная характеристика случайной величины. Для равномерного закона-- это неубывающая функция x, которая при равнаF(x) = 0, а при Х=+достигаетF(x) = 1. (рис 1.2)

Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, или плотность распределения вероятностей случайной величины

P(x) = F(x)

Если функция нормирована, то общая площадь равна 1.

Функция P(x) неотрицательна и подчиняется условию нормирования.

Наименование функции	Сокращенное обозначение	График функции Р(Х)	М/
Нормальная (усеченная)	Норм.		3.0
Треугольная (Симпсона)			2.4
Трапециевидная	Трап.		2.3
Равномерная	Равн.		1.7
Антимодальная I	Ам. I		1.4
Антимодальная II	Ам. II		1.8
Релея			3.3

Рис. 1.1 - Стандартные аппроксимации плотности распределения

М/ -- характеризует отношение максимального значения случайной величины к среднеквадратическому.

В теории ошибок считают , что при измерениях физических величин случайные ошибки образуются в результате действия совокупности ряда мелких взаимонезависимых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую ошибку. Появление ошибок с положительным знаком при большом числе измерений, как и отрицательных равновероятно. В этом случае свойства случайных ошибок выражаются следующими аксиомами:

1. При очень большом числе измерений случайные погрешности равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто (аксиома симметрии).

2. Чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше (аксиома монотонного убывания плотности вероятностей).

• Следствие из первой аксиомы можно сформулировать следующим образом: сумма случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений n:

При условии, что случайные ошибки достаточно хорошо подчиняются вышеуказанным свойствам, они описываются Гауссовским или нормальным законом распределения плотности вероятностей (рис. 1.1)

Для численной характеристики случайных ошибок в теории ошибок пользуются средним арифметическим значением, что соответствует математическому ожиданию:

(1)

и

(2)

среднеквадратической ошибкой, которая соответствует среднеквадратическому отклонению случайной величины:

где X -- истинное значение измеряемой величины,

x_i -- результат i-го измерения.

Приведенной формулой для среднеквадратической погрешности пользоваться неудобно, так как истинное значение измеряемой величины обычно неизвестно. Поэтому, заменяя Х на А получим:

(3)