Схемотехника / Конспект лекций / лекция 20

Лекция 20

Общие сведения об активных фильтрах

В большинстве случаев электрический фильтр представляет собой частотно-избирательное устройство. Следовательно, он пропускает сигналы определенных частот и задерживает или ослабляет сигналы других частот. Наиболее общими типами частотно-избирательных фильтров являются фильтры нижних частот (пропускают низкие частоты и не пропускают высокие), фильтры верхних частот (пропускают высокие частоты и не пропускают низкие), полосно-пропускающие фильтры (пропускают полосу частот и не пропускают те частоты, которые расположены выше и ниже этой полосы) и полосно-заграждающие фильтры (не пропускают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы). Более точно характеристику частотно-избирательного фильтра можно описать, рассмотрев его передающую функцию

. (1)

Величины U₁ и U₂ представляют собой соответственно входное и выходное напряжения (рис. 1). Для установившейся частоты p = j (j² = -1) передаточную функцию можно переписать в виде

, (2)

где |Н(j)| – модуль передаточной функции или амплитудно-частотная характеристика; () – фазочастотная характеристика, а частота , рад/с, связана с частотой f, Гц, соотношением  = 2f.

Рис. 1. Изображение активного фильтра

Диапазон или полосы частот, в которых сигналы проходят, называются полосами пропускания, и в них значение амплитудно-частотной характеристики |Н(j)| относительно велико, а в идеальном случае – постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, образуют полосу задерживания, и в них значение амплитудно-частотной характеристики относительно мало, а в идеальном случае – равно нулю.

Интервал частот, в котором характеристика постоянно спадает, переходя от полосы пропускания к полосе задержания, называют переходной областью.

На практике невозможно реализовать идеальную характеристику, поскольку требуется сформировать очень узкую переходную область. Следовательно, основная проблема при конструировании фильтра заключается в приближении реальной характеристики с заданной степенью точности к идеальной.

В качестве полосы пропускания выбирается диапазон частот, где значения амплитудно-частотной характеристики превышает некоторое заранее выбранное число, например А₁, а полосу задерживания образует диапазон частот, в котором амплитудно-частотная характеристика меньше определенного значения, например А₂ (рис. 2). Интервал частот, в котором характеристика постоянно спадает, переходя от полосы пропускания к полосе задерживания, называется переходной областью. Приведенный на рис. 2 практический пример имеет полосу пропускания 0 <  < _с, полосу задерживания  > ₁ и переходную область _с <  < ₁.

Рис. 2. Идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики фильтра нижних частот

Значение амплитудно-частотной характеристики можно также выразить в децибелах (дБ) следующим образом:

, (3)

и в этом случае  характеризует затухание.

Например, предположим, что на рис. 2 выбрано А = 1, которому соответствует  = 0.

Тогда, если , то затухание на частоте _с

.

Передаточная функция реализуемого фильтра представляет собой отношение полиномов, которое для наших целей запишем в следующей форме:

. (4)

Коэффициенты a и b – вещественные постоянные величины, а

(5)

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Реальные амплитудно-частотные характеристики лучше (более близки к идеальным) для фильтра более высокого порядка. Однако повышение порядка связано с усложнением схем и более высокой стоимостью. Таким образом, один из аспектов разработки фильтров связан с получением реализуемой характеристики, аппроксимирующей с некоторой заданной степенью точности идеальную характеристику при наименьших затратах.

Активные фильтры строятся на основе резисторов, конденсаторов и одного или нескольких активных элементов, таких как транзисторы, зависимые источники и т.д. Одним из наиболее часто применяемых активных приборов, который в основном и будет использоваться, является операционный усилитель (ОУ).

В идеальном случае ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходным сопротивлением и бесконечным коэффициентом усиления. Вследствие этого можно при исследованиях рассматривать только напряжение между входными выводами, а также считать, что ток во входных выводах равен нулю. Практические ОУ по своим характеристикам приближаются к идеальным наиболее близко только для ограниченного диапазона частот, который зависит от типа ОУ.

При реализации активного фильтра разработчик должен применять те же типы ОУ, которые отвечают предъявляемым требованиям по коэффициентам усиления и частотным диапазонам. Например, коэффициент усиления ОУ с разомкнутой обратной связью должен, по крайней мере, в 50 раз превышать коэффициент усиления фильтра.

Для обеспечения хорошей рабочей характеристики необходимо также иметь представление о скорости нарастания выходного напряжения ОУ. Если требуется большой размах выходного напряжения, то необходимы ОУ с высокими скоростями нарастания. Скорость нарастания обычно лежит в пределах от 0,5 В/мкс до нескольких сотен и более вольт на микросекунду.

Существует много способов построения фильтра с заданной передаточной функцией n-го порядка. Один популярный способ заключается в том, чтобы представить передаточную функцию в виде произведения сомножителей Н₁, Н₂, …, Н_m и создать схемы, или звенья, или каскады N₁, N₂, …, N_m, соответствующие каждому сомножителю. Наконец, эти звенья соединяются между собой каскадно (выход первого является входом второго и т.д.), как изображено на рис. 3. Если эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции, то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-го порядка. Ранее было установлено, что ОУ обладает бесконечным входным и нулевым выходным сопротивлениями. Таким образом, его можно использовать для реализации невзаимодействующих звеньев.

Рис. 3. Каскадное соединение звеньев

Крутизна спада АЧХ (для ФНЧ) или подъема АЧХ (для ФВЧ) зависит от порядка фильтра и равна .

Для фильтров первого порядка передаточная функция представляется в виде

, (6)

где Р(p) – полином первой или нулевой степени; С – постоянное число.

Крутизна спада АЧХ фильтра первого порядка равна .

Для фильтров второго порядка передаточная функция

, (7)

где Р(p) – полином второй или меньшей степени; В и С – постоянные числа. Крутизна спада АЧХ фильтра второго порядка равна .

Для четного порядка n > 2 обычная каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (7). Если же порядок n > 2 является нечетным, то схема содержит (n – 1)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (7) и одно звено первого порядка с передаточной функцией типа (6).

Для фильтров, описываемых уравнением (7), определим собственную частоту

(8)

и добротность

. (9)

Таким образом, можно переписать уравнение (7) в виде

. (10)

Если значение Q_p невелико, например от 0 до 5, то для реализации уравнения (7) можно использовать относительно простые схемы. Однако для высоких значений Q_p, например более 10, потребуются более сложные схемы.