Лекция 21

Активные фильтры. Фильтры нижних частот

1. Общие сведения

Фильтр нижних частот (ФНЧ) представляет собой устройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0< ω<ω_с, полосу задерживания как частотыω >ω₁, переходную область как диапазон частотω_с<ω<ω₁(ω_с– частота среза). Эти частоты обозначены на рис. 1, на котором приведены реальная и идеальная амплитудно-частотные характеристики фильтров нижних частот, а заштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристики в полосах пропускания и задерживания.

Коэффициент усиления фильтра нижних частот представляет собой значение его передаточной функции при p= 0 или, что эквивалентно, значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте= 0. Следовательно, коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характеристикой, показанной на рис. 1, равенА.

Рис. 1. Реальная АЧХ фильтра нижних частот

Существует много типов фильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований, таких как А,А₁,А₂,_с,₁, обозначенных на рис. 1.

Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой, подобной характеристике на рис. 1 (характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не возрастает с увеличением частоты). Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. На рис. 2 изображен вид характеристики фильтра Чебышева шестого порядка. Инверсная характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания. Пример характеристики фильтра шестого порядка приведен на рис. 3. Наконец, характеристика эллиптического фильтра обладает пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, а ее вид для фильтра шестого порядка изображен на рис. 4.

Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева

шестого порядка

Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот удовлетворяет обозначенным на рис. 1 условиям для данного порядка nи допустимого отклонения в полосах пропускания и задерживания при минимальной ширине переходной области. Таким образом, если заданы значенияА,А₁,А₂,nи_с, то значение частоты₁минимально. Для полиномиальной характеристики оптимальной является характеристика фильтра Чебышева. Однако в общем случае оптимальным является эллиптический фильтр, характеристики которого значительно лучше характеристик фильтра Чебышева.

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика инверсного фильтра Чебышева шестого порядка

Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра шестого порядка

Далее кратко рассматриваются фильтры Баттерворта и Чебышева. Фильтры инверсные Чебышева и эллиптические, имеющие более сложную реализацию, в данных методических указаниях не рассматриваются.

2. Передаточная характеристика фильтра Баттерворта

Наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

, (1)

где n = 1, 2, 3, … .

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно убывает при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики, что можно видеть из рис. 5, где для А= 1 изображены некоторые характеристики фильтра Баттерворта.

Рис. 5. АЧХ фильтра Баттерворта нижних частот

(n– порядок фильтра)

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида

, (2)

где K– постоянное число.

Для нормированного фильтра, т.е. при _с= 1 рад/с, передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей дляn= 2, 4, 6,... . как

(3)

или для n= 3, 5, 7, ... как

. (4)

В обоих случаях коэффициенты задаются при b₀= 1 и дляk = 1, 2, 3, ... следующим образом:

; . (5)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты = 0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтраn-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике фильтра Чебышева.

Однако фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазочастотные характеристики фильтров Чебышева, что согласуется с общим правилом для фильтров данного типа: чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазочастотная, и наоборот.