Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка_2_Матр_Опр_Сист

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Институт образовательных информационных технологий

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ

Учебное пособие

Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук О.А. Кеда

Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ-УПИ

Екатеринбург

2006

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73 М 33

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ. - мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко

М 33 II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ: учебное пособие / А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 65 с.

ISBN 5-321-00633-4

Данное пособие содержит основы теории матриц и определителей и решения систем линейных уравнений, включает подробное решение задач, задачи для самостоятельной работы, проверочные тесты и справочный материал по теме.

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 “Строительство” всех форм обучения

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73

ISBN 5-321-00633-4	© ГОУ ВПО «Уральский государственный
	технический университет – УПИ», 2006

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ..........................................................................	4
	1.1. Матрицы........................................................................................................	4
	1.2. Определители второго и третьего порядка................................................	5
	1.3. Свойства определителей..............................................................................	6
	1.4. Определители высших порядков................................................................	8
	1.5. Операции над матрицами и их свойства..................................................	10
	1.6. Матричные уравнения................................................................................	12
	1.7. Ранг матрицы ..............................................................................................	12
	1.8. Проверочный тест: определители и матрицы..........................................	14
2.	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ...........................................................	16
	2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными...............................	16
	2.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. ..............................	17
	2.3. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема
	Кронекера – Капелли.................................................................................	19
	2.4. Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n
	неизвестными.............................................................................................	20
	2.5. Однородные системы.................................................................................	22
	2.6. Проверочный тест: системы линейных уравнений.................................	24
3.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ................................................................................................	26
	3.1. Определители..............................................................................................	26
	3.2. Матрицы......................................................................................................	33
	3.3. Обратная матрица.......................................................................................	35
	3.4. Решение матричных уравнений................................................................	37
	3.5. Ранг матрицы ..............................................................................................	38
	3.6. Системы линейных уравнений..................................................................	39
4.	ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.........................................	45
5.	ОТВЕТЫ К ВАРИАНТАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ..............	50
6.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ..................................................	53
7.	БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..................................................................	64

1.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1.Матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел aij, i=1,2,…, m; j=1,2,…, n, расположенных в m строках и n столбцах:

a11	a12	… a1n
A = a21	a22	… a2n .

	am2 …
am1	am2 …		amn

Числа aij называются элементами матрицы. Матрица может быть записана так: А=( aij )= ||aij ||.

Матрица	размера 1×n	называется		матрицей-строкой и имеет вид:
А= (a1 a2 a3	...an ) . Матрица	размера	m×1 называется матрицей-столбцом и
имеет вид:				a1
				a1
				a
		В =		2
		В =		...	.
				a
				m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов (m=n), при этом число n называется порядком матрицы. Пример квадратной матрицы 3-го порядка:

	a 1 1		a 1 2	a 1 3
A =		a 2 1	a 2 2	a 2 3	(1 )

		a 3 1	a 3 2	a 3 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов a11, a22, a33, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов a13, a22, a31, идущая из правого верхнего угла этой матрицы в левый нижний угол.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной, например:

a		a
	11	12
	0	a22
	0	0
	0	0

a13

a23 . a33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие

выше и ниже главной диагонали,		равны		нулю, называется диагональной,
т.е. aii ≠ 0,aij = 0 при i ≠ j :
a		0	0
	11	a22	0
	0	a22	0	.
	0	0
	0	0	a33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

	1		0	0
E =		0	1	0
					.
		0	0	1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированием квадратной матрицы называется такое преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками.

Матрицу, транспонированную по отношению к матрице А, обозначают АТ. Например, АТ для матрицы А (1) имеет вид:

	a11	a21		a31	(2)
AT =	a	a	22	a	(2)
	12		22	32
	a	a	23	a
	13		23	33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы совпадают.

1.2.Определители второго и третьего порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы

a11	a12
Α= a	a	называется число, равное
21	22

∆ =

= d e t Α =

a1 1

a1 2

= a1 1 a 2 2 − a1 2 a 2 1

(3 )

a 2 1

a 2 2

ПРИМЕР:

=1 4 −3 2 = −2 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы

a	a
11	12
A = a21	a22
	a32
a31	a32

∆ = Α = det Α =

a13

a23 называется число, равное

a33

a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32

(4)

Данная формула называется правилом треугольников. Элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения отрезками или треугольниками.

Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель (4).

ПРИМЕР:

Α		1	−4	2	=1 3 5 +( −4 ) ( −1) ( −2 ) + 2 0 1 − −2 3 ( −2 ) −1 ( −1) 1 −( −4 ) 0 5 = 20 .

	=	0	3	−1

		−2	1	5

1.3. Свойства определителей

Свойство 1 . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: AT = A .

Свойство 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:

a11	a12	a13	(α1 )	a21	a22	a23	(α2 )

a21	a22	a23	(α2 )= −	a11	a12	a13	(α1 )
a31	a32	a33	(α3 )	a31	a32	a33	(α3 ) .

Свойство 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| можно вынести за знак определителя:

k a1 1	a1 2	a1 3		a1 1	a1 2	a1 3
k a1 1	a1 2	a1 3		a1 1	a1 2	a1 3
k a 2 1	a 2 2	a 2 3	= k	a 2 1	a 2 2	a 2 3	, k = co n st
k a3 1	a3 2	a3 3		a3 1	a3 2	a3 3

Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю:

a11	a12	a13	= 0 .
0	0	0	= 0 .
a31	a32	a33

Это свойство вытекает из предыдущего при k = 0.

Свойство 6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:

+a//

a//

a21/

+a21//

a22

a23

a21/

a22

a23

a21//

a22

a23

+a//

a//

Свойство 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:

a11

+k a12

a12

a13

a11

a12

a13

a21

+k a22

a22

a23

a21

a22

a23

a31

+k a32

a32

a33

a31

a32

a33

Замечание: пользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Mij элемента aij определителя |A| называется определитель, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.

ПРИМЕР: Найдите минор M22 элемента a22 определителя 3-го порядка

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Решение: M22 =

a11

a13

a31

a33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определи-

теля |A| называется минор Mij этого элемента со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij :

Aij = (−1)i + j Mij .

ПРИМЕР:

Для определителя	1	2	3	:		1	3	= −12, A22 = (−1)4 M22 = −12 .
Для определителя	4	5	6	:	M22 =	1	3	= −12, A22 = (−1)4 M22 = −12 .
	7	8	9			7	9
	7	8	9

Свойство 9. Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки на соответствующие алгебраические дополнения.

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 =ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +ai3Ai3, i =1, 2, 3.

a31 a32 a33

ПРИМЕР:

Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой

строки:	2	0	5		3	16		1	16		1	3	= 2(30 +16)+5(−1)=92 −5 =87.

	1	3	16	= 2			−0			+5
					−1	10		0	10		0	−1
	0	−1	10

Свойство 10. Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

1.4.Определители высших порядков

Определитель квадратной матрицы n-го порядка имеет вид:

			a11	a12	...	a1n
det A =	A	=	a21	a22	...	a2n	.
			a21	a22	...	a2n
			...	... ... ...
			...	... ... ...
			an1	an 2	...	ann

Для определителей n-го порядка справедливы свойства, изложенные в разделе 1.3.

Определители n-го порядка могут быть вычислены двумя способами.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

		n
det A =	A	= ∑aik Aik	= ai1Ai1 +ai2 Ai2 + ...ain Ain .
det A =	A	= ∑aik Aik	= ai1Ai1 +ai2 Ai2 + ...ain Ain .
		k =1
ПРИМЕР:						2	−1	0	1


Вычислим определитель 4-го порядка				A	=	0	1	−1	2	методом понижения
Вычислим определитель 4-го порядка				A	=	0	1	−1	2	методом понижения
						3	−1	3	2
						3	−1	3	2
						3	1	1	6
порядка.
Решение:
Обозначим строки определителя через α1 , α2 , α3 , α4										, а столбцы - β1 , β2 , β3 , β4 .

Приведем определитель к виду, в котором a11 =1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого поставим четвертый столбец на место первого, при этом определитель изменит знак:

		1	−1	0	2

A	= −	2	1	−1	0	.

		2	−1	3	3

		6	1	1	3

Обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках с помощью преобразований α2 − 2α1 , α3 − 2α1 , α4 − 6α1 :

										1	−1		0	2			3	−1	−4


										0 3		−1 −4
							A	= −								= −	1 3 −1			=
							A	= −								= −	1 3 −1			=
										0	1		3	−1			7	1	−9
										0	1		3	−1
										0	7		1	−9
										0	7		1	−9
= (α2 →α1 )	1	3 −1		α	2	− 3α			1		3		−1		10 −1


	3	−1 −4	=			1			0		−10		−1	=				= 0 .
	3	−1 −4	=	α		− 7α			0		−10		−1	=	20 −2			= 0 .
	7	1 −9			3	1			0		−20 −2
	7	1 −9			3	1			0		−20 −2

2. Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

			a11	a12	...	a1n
			0	a22	...	a2n					n
	A	→					,	A	= ∏aii =a11 a22 ... ann .
	A	→					,	A	= ∏aii =a11 a22 ... ann .
			... ... ... ...								i=1
			0	0	...	ann					i=1
			0	0	...	ann
ПРИМЕР:
												1	0	2	1	3
												1	0	2	1	3
Вычислим определитель 5-го порядка												4	−1	3	2	5	методом приве-
										Α	=	−3	2	−4	5	−7
										Α	=	−3	2	−4	5	−7
												2	3	19	5	8
												5	−3	−5	−1	4

дения к треугольному виду.

Решение:

1 0 2

4 −1 3

Α = −3 2 −4 2 3 19 5 −3 −5

1	3	(α1 )				α		− 4α

2	5	(α2 )					2		1

5	−7	(α	3	)	=	α3 + 3α1				=
						α4 − 2α1
5	8	(α4 )
−1	4	(α5 )				α5 − 5α1

	1	0	2	1	3	(α1 )	1	0	2	1	3	(α1 )
	1	0	2	1	3	(α1 )	1	0	2	1	3	(α1 )
	0	−1 −5 −2 −7				(α2 )	0	−1 −5 −2 −7				(α2 )
=	0 2		2	8	2	(α3 )= (α5 +α4 )= 2	0 1		1	4	1	(α3 )=
	0	3	15	3	2	(α4 )	0	3	15 3		2	(α4 )
	0	−3 −15 −6 −11				(α5 )	0	0	0	−3 −9		(α5 )

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички

#
23.02.20152.63 Mб204Методичка 1_Элементарная_математика.pdf
#
23.02.20151.37 Mб89Методичка_2_Матр_Опр_Сист.pdf
#
23.02.20151.69 Mб110Методичка_3_Вект_алг.pdf
#
23.02.20151.17 Mб264Методичка_4_Ан_геом_в пр.pdf
#
23.02.20153.18 Mб112Методичка_5_Ан_геом_на_пл.pdf
#
23.02.20152.73 Mб102Методичка_6_Мат_ан.pdf