Математика 1 семестр / Методички / Методичка_3_Вект_алг

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Институт образовательных информационных технологий

III. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук О.А. Кеда

Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ-УПИ

Екатеринбург

2006

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Определение вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются коллинеар-

ными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Все нулевые векторы считаются равными.

G JJJG

Для каждого вектораG JJJGa =OA существует противопо-

ложный вектор −a =OA' , коллинеарный вектору a , имеющий ту же длину и противоположное направление.

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно. Так, на рисунке справа изображен один и тот же вектор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор называется параллельным некото-

рой плоскости, если он лежит на прямой, параллельной этой плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

1.2.Линейные операции над векторами и их свойства

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на вещественное число.

4

Замечание. При доказательстве свойства 1) обосновано еще одно правило сло-

Доказательство свойства 4).

Для любого вектораG aG существует такой вектор a′= −aG, для которого aG + aG′ = aG + ( − aG) = 0 , что и требовалось доказать.

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением αa вектора a на вещественное число α

называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину α a и

имеющий направление, совпадающее с направлением вектора aG в случае α > 0 и противоположное направлению вектора a в случае α < 0 .

Геометрический смысл операции умножения вектора на число:

при умножении вектора aG на число α вектор a "растягивается в α раз".

GG умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

5)1 a = a (унитарность);

6)α (βaG)= (αβ )aG (сочетательное свойство числовых сомножителей);

7)(α+β )aG =αaG+ βaG (распределительное свойство умножения вектора на число относительноG суммыG чисел);

8)α(aG+b )=αaG+αb (распределительное свойство умножения вектора на чис-

ло относительно суммы векторов);

Доказательство свойства 5).

Докажем, что 1 a = aG. Для этого докажем, что векторы c =1 aG и dJG = aG рав-

6

направлен так же, как и вектор a .

совпадают.

Остальные случаи соотношения величин и знаков чисел α и β рассматриваются аналогично. G

Очевидно, что равенство выполняется, если α = 0 , β = 0 , или a = 0 .

сечения с продолжениями векторов a и b через D и E соответственно. Тогда

бовалось доказать. Случай α < 0 рассматривается аналогично.

7

В случае α = 0 , aG = 0 или bG = 0, равенство, очевидно, выполняется.

Рассмотрим случай, когда векторы a и b коллинеарны. Докажем вначале следующееG утверждение:

Утверждение. Если a G– произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на этой прямой b может быть записан в виде b =αaG.

Доказательство. Приложим векторы a и b к общему началу O . Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета,

Свойства 1) –8) для векторов, определенных так, как это было сделано выше, в линейной алгебре служат аксиомами так называемого линейного, или векторного, пространства. Таким образом, геометрический вектор (направленный отрезок) является вектором линейного пространства. Векторами линейных пространств также являются вещественные точки пространств R1 ,R2 ,R3 ,...,Rn , числа, матрицы-столбцы, матрицы-строки и другие объекты.

То, что аксиомы линейного пространства выполняются как для вещественных чисел, так и для геометрических векторов, позволяет производить выкладки в векторной алгебре по тем же правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в алгебре вещественных чисел.

8

1.3.Базис и координаты

1.3.1.Декартов прямоугольный базис и декартова система координат

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом в пространстве будем называть три некомпланар-

ных вектора, взятые в определенном порядке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.

Теорема. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису наG этой прямой.

То есть еслиGa – произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на этой прямой b может быть записан в виде b =αaG.

Следствие. Если два вектора aG = (ax , ay , az ) и b = (bx ,by ,bz ) коллинеарны, то их

координаты пропорциональны, т.е.

ax = ay = az . bx by bz

Теорема. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложенG по базису на этой плоскости.

То есть если aG и b – произвольные неколлинеарные векторы на плоскости, то любой вектор на этой плоскости с мо-

жет быть записан в виде сG =αaG+ βb .

Доказательство: G

Отложим вектор c от произвольной точки O плоскости. Пусть на этой плоскости задан базис из векторов a и b . Отложим их также от точки O . По-

строим прямые, параллельные векторам a и b , через конец вектора cG. РассмотримG полученный при этом параллелограмм. Его стороны равны αa

и βb , а диагональ, совпадающая с вектором c , равна по правилу параллелограмма cG =αaG+ βbG.

Теорема. Каждый вектор пространства может быть разложен по базису в пространстве.

То есть если aG, b , сG – три некомпланарных вектора в

пространствеG , тоG любой вектор d может быть записан в виде d =αaG+ βb +γcG.

Доказательство. Геометрически вектор d представляет собойGпространственную диагональ параллелепипеда, построенного на векторах aG, b и с. Замечание. Числа α, β, γ называются координатами вектора в соответствующем базисе.

9