Математика 1 семестр / Методички / Методичка_6_Мат_ан
.pdfVI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Институт образовательных информационных технологий
VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Научный редактор – проф., доктор физ. - мат. наук А.Б. Соболев
Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ-УПИ
Екатеринбург
2006
УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73 М 34
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: О.А. Кеда, М.А. Вигура, , А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
М 34 VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: учебное пособие /
М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 126 с.
ISBN 5-321-00633-4
В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления. Приведены подробные решения задач и задачи для самостоятельной работы. Представлены основные обозначения и формулы, необходимые для решения задач.
Рекомендовано Уральским отделением учебно-методического объединения Вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей всех форм обучения
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73
ISBN 5-321-00633-4 |
© ГОУ ВПО «Уральский государственный |
|
технический университет – УПИ», 2006 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ…………………………………………………..…..5
1.1.Предел последовательности…………………………………………….……….5
1.1.1.Элементы теории множеств и математической логики……………….…...5
1.1.2.Числовые множества………………………………………………….……...7
1.1.3.Числовые промежутки…………………………………………………..……7
1.1.4.Ограниченные множества…………………………………………….……...8
1.1.5.Числовые последовательности……………………………………….……...9
1.1.6.Свойства ограниченных последовательностей……………………….…...10
1.1.7.Предел числовой последовательности……………………………….…….11
1.1.8.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….…...12
1.1.9.Свойства бесконечно малых последовательностей………………….……13
1.1.10.Свойства сходящихся последовательностей……………………….…….15
1.1.11.Монотонные последовательности…………………………………….…..16
1.1.12.Число е как предел монотонной последовательности……………….…..18
1.1.13.Предельные точки. Верхний и нижний пределы…………………….…..20
1.2.Предел функции………………………………………………………………....22
1.2.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции……..…22
1.2.2.Основные характеристики функции…………………………………….…24
1.2.3.Обратная функция. Сложная функция………………………………..……26
1.2.4.Основные элементарные функции…………………………………….…...28
1.2.5.Элементарные и неэлементарные функции…………………………….…31
1.2.6.Предел функции в точке………………………………………………….…31
1.2.7.Предел функции в бесконечности……………………………………….…32
1.2.8.Односторонние пределы…………………………………………………....34
1.2.9.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства……...35
1.2.10.Таблица определений предела…………………………………….………38
1.2.11.Свойства функций, имеющих предел……………………………….……39
1.2.12.Замечательные пределы…………………………………………….……..41
1.2.12.1.Первый замечательный предел………………………………….…..41
1.2.12.2.Второй замечательный предел……………………………………....42
1.2.13.Сравнение бесконечно малых функций……………………………….….44
1.3.Непрерывность функции…………………………………………………….….46
1.3.1.Непрерывность функций в точке……………………………………….…..46
1.3.2.Непрерывность функций на множестве……………………………….…...47
1.3.3.Непрерывность основных элементарных функций…………………….…48
1.3.4.Свойства непрерывных функций……………………………………….….49
1.3.5.Непрерывность обратной функции…………………………………….…..50
1.3.6.Непрерывность сложной функции…………………………………….…...50
1.3.7.Свойства функций, непрерывных на отрезке……………………………..51
1.3.8.Точки разрыва и их классификация………………………………….…….53
1.4.Задачи на вычисление пределов с решениями………………………….…….55
1.5.Задания для самостоятельной работы…………………………………….…...65
1.6.Ответы…………………………………………………………………………...70
2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО……………………………………………………………………..…71
2.1.Производная функции……………………………………………………….….71
2.1.1.Основные определения……………………………………………………...71
2.1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и
нормали к графику функции……………………………………………….72
2.1.3.Механический смысл производной………………………………….……..73
2.1.4.Правила и формулы дифференцирования………………………………....73
2.1.4.1.Производная суммы, разности, произведения и частного функций…………………………………………………………….…..73
2.1.4.2.Производная обратной функции………………………………….…..74
2.1.4.3.Таблица производных………………………………………………....75
2.1.4.4.Производная сложной функции………………………………….…...76
2.1.4.5.Логарифмическая производная…………………………………….…77
2.1.4.6.Производная неявной функции…………………………………….…78
2.1.4.7.Производная функции, заданной параметрически……………….….78
2.2.Производные высших порядков…………………………………………….….79
2.2.1.Основные определения………………………………………………….…..79
2.2.2.Правила вычисления производной n–го порядка………………………....79
2.2.3.Вторая производная от неявной функции………………………………....80
2.2.4.Вторая производная от параметрически заданной функции………….….80
2.2.5.Механический смысл второй производной…………………………….….81
2.3.Дифференциал функции……………………………………………………..….81
2.3.1.Основные определения…………………………………………………..….81
2.3.2.Дифференциал независимой переменной……………………………….…82
2.3.3.Свойства дифференциалов……………………………………………….…82
2.3.4.Геометрический смысл дифференциала……………………………….…..82
2.3.5.Применение дифференциала к приближенным вычислениям……….…..82
2.3.6.Дифференциал сложной функции……………………………………….…83
2.3.7.Дифференциалы высших порядков………………………………….……..84
2.4.Основные теоремы анализа……………………………………………….……84
2.4.1.Теорема Ролля (о нуле производной)……………………………………...84
2.4.2.Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)……………….…85
2.4.3.Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)…………...87
2.4.4.Правило Лопиталя – Бернулли………………………………………….….87
2.4.4.1.Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей………………………………………………….…89
2.4.5.Формула Тейлора…………………………………………………………....90
2.4.5.1.Частные случаи формулы Тейлора…………………………………...91
2.4.5.2.Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций…………………………………….……………………….…..92
2.4.5.3.Оценка остаточного члена……………………………………….……94
2.4.5.4.Приложения формул Тейлора и Маклорена…………………….…...95
2.5.Задачи на вычисление производных с решениями………………...….……96
2.6.Задачи на вычисление пределов с помощью
правила Лопиталя с решениями………………………...…………….…...103
2.7.Задачи для самостоятельной работы…………………………………..……...105
2.8.Ответы…………………………………………………………………….…….110
3.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ……………………………...…….115
4.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………...125
1.ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
1.1.Предел последовательности
1.1.1.Элементы теории множеств и математической логики
Вдальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые понятия и операции теории множеств и математической логики.
Понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие.
Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества. Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами.
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами.
Множества могут быть заданы:
простым перечислением элементов (элементы заключаются в фигурные скобки): A ={1, 2, 3};
указанием общего признака всех элементов: X ={x : 1 < x < 2}.
Впервом примере множество состоит из трех чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 < x < 2 .
Множество, не содержащее элементов, называется пустым.
Если все элементы множества B являются также элементами множества A, то B называется подмножеством множества A.
Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так называемые несобственные подмножества).
Множества A и B равны, если одновременно A - подмножество B и B - подмножество A. Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами:
5
|
пустое множество; |
a A |
a принадлежит множеству A ( a содержится в множестве A , мно- |
|
жество A содержит a , множество A включает элемент a ); |
a A |
элемент a не принадлежит множеству A ; |
A B |
B - подмножество множества A ( A содержит B , B содержится в |
|
A , A включает B , B включается в A ); |
A B |
A - подмножество множества B ; |
A = B |
A равно B, A совпадает с B ; |
A B |
объединение (сумма) множеств А и B; в объединение входят эле- |
|
менты, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств; |
A ∩ B |
пересечение (произведение) множеств A и B; в пересечение входят |
|
элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и |
|
множеству B. |
Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)):
|
|
|
|
α β |
импликация, логическое следствие; читается «из высказывания α |
||
|
|
|
следует высказывание β », «высказывание β является следствием |
|
|
|
высказывания α »; |
α β |
эквивалентность, равносильность; читается «высказывание α |
||
|
|
|
равносильно высказыванию β », «α эквивалентно β », «α и β |
|
|
|
равносильны»; означает, что α β и β α , т.е., высказывания α |
|
|
|
и β либо оба верны, либо оба неверны; |
|
|
|
отрицание высказывания α ; |
α |
|||
|
дизъюнкция, логическое «или»; α β означает «α или β »; |
||
|
конъюнкция, логическое «и»; α β означает «α и β »; |
||
|
квантор существования, a A – читается «существует элемент |
||
|
|
|
a , принадлежавший множеству A»; |
квантор всеобщности, α A – читается «для каждого элемента α , принадлежащего множеству A».
:читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место», a A: a >1 читается «существует элемент a , принадлежавший множеству A такой, что a >1».
Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов:
n |
n |
∑a j = a1 + a2 +…+ an , |
∏a j = a1 a2 … an . |
j=1 |
j=1 |
Покажем на нескольких примерах применение символической записи:
1)(x A B) ((x A) (x B)) - определение объединения;
6
2)(A = B) ((A B) (A B)) - определение равенства множеств;
3)(A B) ( x B : ((x B) (x A))) - определение подмножества.
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.2. Числовые множества |
|
||||
Числа |
1, |
2, |
3,... |
|
называются |
натуральными |
и обозначаются |
||||||
={n} ={1, 2,3,..., n,...}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Числа |
|
={ 0, 1, −1, |
2, |
−2, ... , |
±n, ...}, n образуют множество целых |
||||||||
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа вида |
|
|
= |
m |
: |
m , |
n |
|
|
||||
= q |
n |
образуют множество рациональных |
|||||||||||
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
m |
|
< n , |
то |
|
рациональная дробь называется |
правильной, если |
|||||
|
|
|
|||||||||||
m ≥ n – неправильной. Рациональные дроби представляются в виде конеч-
ных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.
ПРИМЕР. 1 = 0,333... = 0,(3) , 2 = 0,4 = 0,3999... = 0,3(9) |
, |
7 |
= 0,0707... = 0,(07) . |
||
99 |
|||||
3 |
5 |
|
|
||
Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, |
|||||
составляют множество иррациональных чисел |
I. |
Например, 2 =1,41... , |
|||
р = 3,14159265359..., |
e = 2,71828 18284 59045... . |
|
|
|
|
Рациональные и иррациональные числа составляют множество действи- |
|||||
тельных чисел = |
I . |
|
|
|
|
Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно - однозначное соответствие.
1.1.3. Числовые промежутки
Примеры числовых множеств:
Множество элементов x: |
{ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элемент множества: |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
{ } |
|
|
|
|
|
|
|||
Отрезок (сегмент): |
{ |
x |
= |
[ |
a,b |
] |
: a ≤ x ≤ b, где a |
{ |
x ,b |
{ |
x |
} |
|
|
|
} |
} |
||||||
Интервал: |
{ |
x = |
( |
a,b |
) |
: a < x <b |
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полуинтервал (полусегмент): |
|
|
{x} = (a, b]: a < x ≤ b, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
{x} =[a, b): a ≤ x < b, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Луч: |
|
|
{x} =[a, ∞): (x ≥ a) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
{x} = (−∞, b]: (x ≤ b) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Окрестность точки c - произвольный интервал (a,b), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
содержащий точку с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпсилон –окрестность точки с: {x : |
|
x − c |
|
<ε} |
|
|
|
|
c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
или c − ε < x < c + ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.4. Ограниченные множества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество {x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что x {x}: x ≤ M , где М называется верхней гранью множества {x}
(ВГ {x}).
ПРИМЕР. {−1,2,3,4,5}, M1 =5, M2 = 6, M3 =10,....
Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.
Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup{x} (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ {x}).
ПРИМЕР. {−1,2,3,4,5}, x = 5 .
Множество {x} называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что x {x}: x ≥ m , где m – нижняя грань {x} (НГ {x}).
Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.
Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью x = Inf {x}, (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ {x}).
Множество {x} называется ограниченным, если существует число M > 0 такое, что x {x}: x ≤ M . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху.
Множество {x} называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа M > 0 найдется элемент x {x}, удовлетворяющий неравенству: x ≥ M .
8
ПРИМЕР. Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.
Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.
Число М называется наибольшим элементом множества {x}, M =max{x},
если 1) M {x}; 2) x {x}: x ≤ M .
Число m называется наименьшим элементом множества {x}, m = min{x},
если 1) m {x}; 2) x {x}: x ≥ m .
Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наименьший) элемент, а может и не иметь его:
{x}=[a;b], max {x} = b , min{x}= a ;
{x}=(a;b), max {x}, min{x} не существуют.
1.1.5.Числовые последовательности
Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число xn , то множество {xn} ={x1, x2 , x3 ,....xn ,...} нуме-
рованных чисел x1, x2 , x3 ,.... называется числовой последовательностью. Эле-
менты этого множества называются членами или элементами последова-
тельности.
Числовая последовательность может быть задана:
1) перечислением элементов;
2) заданием общего члена последовательности как функции номера xn = f (n);
3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: xn+1 = f (xn ), x1 = const - одночленная ре-
|
куррентная формула, |
xn+2 = f (xn+1, xn ), |
|
x1 =c1, |
x2 =c2 - двучленная рекур- |
|||||||||||||
|
рентная формула, и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕРЫ. |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
{ } |
|||
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−1,1, |
−1,1,... |
= |
{ |
−1 |
n |
} |
; 0, |
1 |
, |
2 |
,... = |
n −1 |
; |
1,2,3,... = |
n ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
||
9