Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КВАНТЫ билеты / 9. Соотношение неопределенностей для физических величин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

312.45 Кб

Скачать

☆

Соотношение неопределенностей для физических величин

Говоря о вероятностном характере процесса измерения наблюдаемой L, необходимо ввести понятие о ее среднем значении. Средним значением (или

математическим ожиданием, средним по ансамблю) наблюдаемой L

является некоторое число, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, полученным по результатам измерений в ансамбле

	g -состояний. Оно, как правило, обозначается символом							l g и, если кет-
							g 1, то равно	l g и, если кет-

вектор		g нормирован на	единицу			g		диагональному
			ˆ
элементу матрицы оператора L
		l		ˆ		= Lgg .		(2.7а)
				ˆ
			g = g	L	g
			g = g	L	g

Если же кет-вектор g состояния не является нормированным, то среднее значение l g находится по формуле

g =

(2.7б)

g |

Проверим справедливость выражения

(2.7а), рассмотрев сначала

случай,

когда спектр оператора L дискретный.

Согласно хорошо известной формуле из теории вероятностей, среднее

значение случайной величины определяется следующей суммой

g = li Pg (li )

(2.8)

i 1

где Pg(li) – это вероятность получить число li

при N измерениях. Подставим в

эту формулу выражение для Pg(li) = g

, учитывая (2.2а):

l g

= li g

g .

(2.9)

Принимая во внимание четвертое свойство скалярного произведения (см.

п.1.1), а также уравнение

= li

на собственные значения и векторы

оператора L , выражение (2.9) можно переписать в виде

g .

ˆ
Если спектр оператора L непрерывный, то все прежние рассуждения
остаются теми же. Среднее значение наблюдаемой L вычисляется с помощью
формулы
l g = l dPg (l ) ,	(2.10)

где вероятность dPg (l ) получить при N измерениях число l , заключенное в

интервале d . Заменим вероятность

dPg (l )

в выражении (2.10),

воспользовавшись равенством dPg (l ) =

= l

g d .

l g

(2.11)

= l

l , преобразуем (2.11) к виду:

Учитывая уравнение L

l g = g

g d g

g .

g d

Отметим, что если квантовое состояние физической системы

характеризуется

вектором

состояния

, который является

собственным

l l наблюдаемой L в

вектором эрмитова оператора L , то среднее значение

этом состоянии будет равно собственному значению l оператора L .

Среднее значение l g

наблюдаемой L характеризует ее порядок, но не

дает никакой информации о возможном разбросе результатов измерения в

квантовой системе, которая находится в состоянии	g . Информация	об
отклонении l l l g значений l наблюдаемой L от среднего значения		l g

заключена в величине l , называемой среднеквадратичным отклонением и определяемой по формуле


	l l	g 2
l	l l	g 2			( l)2 .	(2.12)
			g		g
			g
Среднеквадратичное отклонение можно вычислить и так

	l	l2	l	2	,	(2.13)
			g	g
			g

поскольку

l l

l2 2l l

2 l

l 2

2 .

Отметим,

что значение l

будет равно нулю только тогда, когда состояние

системы

будет

собственным

состоянием

наблюдаемой

L, т.

е.

когда

состояние описывается собственным вектором эрмитова оператора ˆ . l L

В п.2.1 отмечалось, что когда две наблюдаемые величины L и T не могут одновременно быть измерены точно (в пределах погрешности измерений), т. е. иметь строго определенные значения l и t, тогда изображающие их

ˆ	ˆ	ˆ ˆ
операторы L	и T	не коммутируют ([L,T ] ≠ 0). С помощью известных

коммутационных соотношений между такими некоммутирующими операторами можно найти неравенство, которому удовлетворяют среднеквадратичные отклонения l и t соответствующих наблюдаемых. Это неравенство является математическим выражением принципа неопределенностей. Приступим сейчас к поиску указанного неравенства.

ˆ	ˆ		L и T
Допустим, что операторы L и	T	наблюдаемых величин	L и T
удовлетворяют условию коммутации
ˆ ˆ	ˆ		(2.14)
[L,T ] iK .			(2.14)

ˆ
где K – также оператор.
Введем новые операторы, определенные соотношениями
ˆ	ˆ	l g ,
L L		l g ,
ˆ	ˆ	t g .
T	T	t g .

Поскольку величины l g и t g			являются числами,			то несложно показать,
ˆ	ˆ
что L и T удовлетворяют следующему перестановочному соотношению
		ˆ	ˆ	ˆ		(2.15)
		[ L, T ] iK .
Рассмотрим теперь вспомогательный кет-вектор
			ˆ	ˆ	g ,

		f ( L i T )

где – произвольный вещественный параметр. Запишем для кет-вектора f квадрат его нормы

( L i T )( L i T )

( L)

(i L T i T L)

( L)

i [ L, T ]

( T )

2	ˆ	2	g

	( T )

g .

ˆ iK

Квадрат нормы f f не будет отрицательным числом при любом значении. Учитывая соотношение (2.15) и определение средних значений (2.7), для скалярного произведения f f можно написать

f	f	( l)2	k	g	( t)2	2 0 .	(2.16)

			g			g

Чтобы неравенство (2.16) выполнялось, дискриминант трехчлена второй степени по должен быть либо отрицательным, либо равен нулю. Значит,

k	2 4 ( t)2		( l)2		0
	g		g		g

или, принимая во внимание (2.12),
	l t		k g	.	(2.17)
			2

Полученное неравенство	(2.17)	выражает			принцип неопределенности,

утверждающий, что существует нижний предел произведения l t .

Рассмотрим в качестве специального примера абстрактную квантовую систему. Имеется микрочастица, которая совершает одномерное движение вдоль координатной оси X, обладая импульсом рх. Тогда положим L = х (координата микрочастицы) и T = рх = р.

В силу формулы (2.6) коммутатор xˆ, pˆ равен

ˆ
xˆ, pˆ i I ,
ˆ	ˆ	k g .
поэтому из соотношения (2.14) следует, что K	I , при этом имеем	k g .
Таким образом, соотношение (2.17) для координаты х и импульса р
принимает вид
x p .		(2.18а)
2

Это есть знаменитое соотношение неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению, чем выше точность определения положения

микрочастицы в пространстве, тем большая неопределенность имеется в значении ее импульса, и наоборот.

Соотношение неопределенностей подобное (2.18а) можно записать и для

таких величин, как энергия Е и время t
Е t		.	(2.18б)
Е t	2	.	(2.18б)
	2

Из этого неравенства следует, что для более точного определения значения энергии физической системы требуется больший промежуток времени.

Соседние файлы в папке КВАНТЫ билеты

#
23.02.2015331.96 Кб727. Полный угловой момент.pdf
#
23.02.2015426.6 Кб727. Постулаты квантовой механики.pdf
#
23.02.2015376.93 Кб828. Особенности движения частицы в поле центральных сил.pdf
#
23.02.2015330.24 Кб748. Правила квантования.pdf
#
23.02.2015295.37 Кб719. Свободное вращательное движение частицы.pdf
#
23.02.2015312.45 Кб799. Соотношение неопределенностей для физических величин.pdf
#
23.02.2015322.69 Кб86Метод самосогласованного поля Хартри.pdf
#
23.02.2015406.3 Кб78Элементарная теория атомов с двумя электронами.pdf
#
23.02.2015273.36 Кб98Энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний водородоподобного атома.pdf