КВАНТЫ билеты / 9. Свободное вращательное движение частицы
.pdf
Свободное вращательное движение частицы
Исследуем движение свободной частицы (отсутствует потенциальное
поле: U (r) 0 ), которая обладает наряду с |
определенной энергией |
Е |
|
|
|
конкретным значением орбитального момента |
l . Задача заключается |
в |
поиске радиальной части R(r) функции E ( r , , ) посредством решения
дифференциального уравнения (6.5), записанного в несколько измененном виде
|
d 2 R(r) |
|
2 dR(r) |
|
2m |
2l(l 1) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
R(r) 0 . |
(6.9) |
|
dr |
2 |
r |
|
dr |
|
2 |
|
2mr |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При свободном движении энергия Е может быть только положительной. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вначале рассмотрим |
|
частный |
|
случай, когда |
орбитальный |
момент l |
|||||||||
частицы равен нулю, т. е. имеем l = 0. В уравнении (6.9) удобно провести замену R(r) на функцию (r) rR(r) , тогда его можно переписать в виде
однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
|
|
|
d 2 (r) |
|
|
|
2m |
|
E (r) 0 . |
(6.10) |
|||||
|
|
|
|
|
dr 2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Общим решением данного |
|
уравнения при любом значении |
E 0 |
||||||||||||||
является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k (r) Asin kr Bcoskr , |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k |
2m |
E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая граничное условие k (0) 0 , получим |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k (r) Asin kr . |
|
|||||||||||
Следовательно, радиальная функция Rk (r) , нормированная условием |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Rk (r)Rk (r)r2dr = (k k) , |
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
представляется в виде стоячей сферической волны |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R (r) |
|
|
|
2 |
|
|
sin kr |
. |
(6.11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если орбитальный момент l частицы не равен нулю, т. е. l ≠ 0, то в уравнении (6.9) можно перейти к безразмерной переменной kr. В результате имеем дифференциальное уравнение
d 2 R( ) |
|
2 dR( ) |
|
|
|
l(l 1) |
|
R( ) 0 . |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
d 2 |
|
|
|
d |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Его общее решение Rl ( ) равно сумме частных решений
Rl ( ) = Ajl ( ) B l ( ) ,
где функция
jl ( ) 
2 Jl 1 / 2 ( )
называется сферической функцией Бесселя порядка l, а функция
l ( ) 
2 J l 1 / 2 ( )( 1)l 1
называется сферической функцией Неймана. В свою очередь обе эти функции выражаются через функции Бесселя Jl 1/ 2 ( ) полуцелого порядка, которые
могут быть в явном виде выражены через элементарные функции. Из условия конечности Rl ( ) при 0 следует равенство нулю произвольной
постоянной В.
Таким образом, находим выражение для радиальных функций свободного движения частицы с определенным орбитальным моментом
Rk ,l (r) = Ajl (kr) ,
которое в случае нормировки можно записать в виде |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
r l |
1 d l |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
sin kr |
|
|
|||||||||
Rk ,l (r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(6.12) |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||||||
|
|
k r dr |
|
|
|
|
|||||||||
Умножив Rk ,l (r) на сферическую функцию Yl,ml |
( , ) , получим волновую |
||||||||||||||
функцию E ( r , , ) стационарных |
состояний |
|
|
свободной |
частицы с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
орбитальным моментом l , имеющую вид свободных сферических волн.