КВАНТЫ билеты / 17. Частица в потенциальном силовом поле прямоугольной формы

Частица в потенциальном силовом поле прямоугольной формы

Если микрочастица движется в поле, потенциал которого в некоторых местах может существенно меняться при малом изменении расстояния (меньших, чем длина λ волны де Бройля частицы), то должны проявляться квантовые эффекты. Это означает, в частности, что спектр оператора Гамильтона не сплошной, а точечный, т. е. собственными значениями

оператора ˆ могут быть числа только из дискретного множества. В этом

H

случае говорят, что энергия квантуются. Далее будем исследовать движение частицы в потенциальных полях, имеющих прямоугольную форму, т. е. когда изменение потенциала в заданных точках пространства происходит скачкообразно. Хотя такие прямоугольные формы не встречаются в природе (реальные потенциалы не имеют разрывов), тем не менее, их можно использовать с целью приближенного изучения поведения квантовой частицы в реальных потенциальных полях.

Прямоугольная потенциальная яма с бесконечным скачком потенциала. Исследуем поведение микрочастицы массы m в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Предположим, что она движется вдоль координатной оси X, но ее движение ограничено двумя непроницаемыми стенками с координатами х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U(х) частицы должна удовлетворять требованиям:

Прежде чем решить это уравнение, отметим следующее. За пределы потенциальной ямы, т. е. в области 1 и 3, частица попасть не может, поэтому вероятность ее обнаружения там равна нулю. Значит, и E (x )-функции в этих

областях будут равны нулю. Из свойства непрерывности E (x )-функции

следует, что она должна равняться нулю на границах потенциальной ямы. Поэтому имеем следующие граничные условия:

E (0 ) = 0 и E (l ) = 0 . (4.9)

В области 2 E (x )-функция не равна нулю. Для этой области перепишем стационарное уравнение Шредингера (4.8)

Решение данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде E (x ) = eγx. После его

подстановки в уравнение имеем: γ1,2 = ±ik. Поэтому общее решение уравнения можно записать следующим образом

где с1 и с2 – это неопределенные пока постоянные.

С помощью граничных условий (4.9) найдем вид E (x )-функции,

удовлетворяющей этим условиям.

Когда х = 0, выполняется равенство E (0 ) = c1 sin 0 c2 cos0 0 . Из него

= 0 при любых значениях x из области 2, а это соответствует случаю, когда частица отсутствует в потенциальной яме.

Итак, E (x )-функция n-го стационарного состояния частицы, находящейся в области 2, определяется выражением

E (x ) c1 sin nl x n (x) ,

зависящим от n. Значение коэффициента с1 получают из условия нормировкиn (x )-функции:

En En 1 En 2 2 (2n 1) . 2ml 2

Плотность вероятности обнаружения частицы, находящейся в n-м состоянии, в определенном месте потенциальной ямы, характеризует квадрат

для состояний с n = 1 и n = 2. Из них видно, что вероятность обнаружения частицы в потенциальной яме зависит как от ее состояния, так и от места обнаружения.

Прямоугольный потенциальный барьер. Рассмотрим прохождение микрочастицы с массой m и полной энергией Е через одномерный прямоугольной потенциальный барьер конечной высоты Uo и ширины l. Пусть координатная ось X сонаправлена с направлением движения частицы. Предположим, что движение происходит в силовом поле, в котором изменение потенциальной энергии U(х) частицы от x происходит согласно рис. 4.5. В этом случае потенциальная энергия U(х) частицы определяется как

Назовем интервал х ≤ 0 областью 1, интервал 0 < х < l областью 2

(прямоугольным потенциальным барьером

высоты Uo и ширины l), а интервал х ≥ l областью 3.

Считаем, что квантовая частица начинает движение из области 1. Для нее, в отличие от классической частицы, всегда имеется некоторая вероятность того, что при Е < Uo она пройдет через потенциальный барьер и окажется в области 3 (это явление называется

«туннельный» эффект), а при Е > Uo частица отразится от барьера и обнаружится в области 1. Характеризуют эти вероятности такие величины как коэффициент прозрачности D потенциального барьера и коэффициент его отражения R.

Коэффициент прозрачности D равен вероятности прохождения частицы сквозь потенциальный барьер и может быть определен как отношение плотности потока Iпр в прошедшей сквозь барьер волне де Бройля к плотности потока Iпад в падающей на барьер волне: D = Iпр / Iпад.

Коэффициент отражения R – это вероятность того, что частица испытает отражение от потенциального барьера, он равен отношению

плотности потока Iотр в отраженной от барьера волне де Бройля к плотности

потока Iпад в падающей на барьер волне: R = Iотр / Iпад.

Причем, для этих коэффициентов выполняется следующее равенство: D + R = 1, так как сумма D и R дает вероятность достоверного события – частица либо пройдет через барьер, либо отразится от него.

Чтобы найти коэффициенты D и R, нужно вначале решить стационарное уравнение Шредингера вида (4.8)

Поскольку здесь потенциальная энергия U(х) является разрывной функцией, это уравнение необходимо решить для каждой из областей 1, 2 и 3 в отдельности. Решениями будут функции, описывающие состояние частицы в этих областях, которые обозначим через 1 (x ), 2 (x ) и 3 (x ). Для данных

функций, в соответствие со свойством непрерывности Ψ-функции и ее первой производной (x) по координате х на границах областей, где

происходит конечный скачок функции U(х), напишем следующие граничные условия:

Часто представляет интерес случай, когда полная энергия Е частицы меньше высоты потенциального барьера Uo (Е < Uo). Поэтому ограничимся рассмотрением именно этого случая.

Напишем стационарное уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3:

Общие решения этих уравнений запишем соответственно в виде

1(x) a1eikx b1e ikx ,

2 (x) a2e x b2e x ,

3 (x) a3eikx b3eikx a3eikx .

0

Слагаемые в выражениях для волновых функций 1 (x ) и 3 (x ) характеризуют

волны де Бройля, которые распространяются в противоположных направлениях. Например, в выражении для 1 (x ) первое слагаемое

соответствует падающей волне с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженной волне с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для 3 (x ) равно нулю.

действительными функциями.

Исходя из определения коэффициентов D и R, а также, учитывая, что плотность потока в падающей волне де Бройля пропорциональна произведению волнового числа k и интенсивности волны (равной квадрату

Следовательно, для того чтобы вычислить коэффициенты D и R необходимо найти значения а1, b1 и а3. Воспользуемся для этого граничными условиями (4.13).

При х = 0 имеем:

a1 b1 a2 b2 ,

ika1 ikb1 a2 b2 .

При х = l:

a2el b2el a3eikl ,

a2el b2e l ia3 k eikl .

Разрешая эту систему из четырех уравнений, приходим к следующим выражениям для коэффициентов прозрачности D и отражения R:

Таким образом, при выполнении условия Е < U0 получаем неравенства D > 0 и R < 1 (отметим, что для классической частицы всегда справедливы равенства D = 0 и R = 1). Значит, частица проходит за барьер и при энергиях Е меньших, чем его высота U0 . Коэффициент D монотонно убывает с ростом ширины l барьера и не обращается в нуль при конечных значениях l.

Аналогичные вычисления без особых трудностей проводятся когда Е > U0. В этом случае выполняются следующие неравенства: D < 1 и R > 0 (для классической частицы: D = 1 и R = 0).