КВАНТЫ билеты / 8. Правила квантования
.pdfПравила квантования
В предыдущем параграфе было постулировано, что в квантовой
ˆ |
ˆ |
механике динамические переменные L и T изображаются операторами L |
и T |
ˆ ˆ |
≠ 0. |
, которые, вообще говоря, не коммутируют друг с другом: [L,T ] |
Дальнейшее развитие квантовой теории требует ответа на вопрос, чему равен этот коммутатор. Поэтому сейчас определим перестановочные (коммутационные) соотношения или, другими словами, правила квантования.
Однако, прежде всего, напомним, что классическая механика является предельным случаем квантовой, значит, при поиске правил квантования следует обратиться к принципу соответствия. Согласно этому принципу, во-
первых, основные понятия квантовой механики должны быть аналогичны понятиям классической механики. Во-вторых,
существующие соотношения для операторов в квантовой механике имеют точно такой же вид, как и соотношения между физическими величинами (динамическими переменными) в классической механике.
Теперь вспомним, что в классической механике, сформулированной в гамильтоновой форме, важную роль играет скобка Пуассона. Для любой пары динамических переменных L L(q, p, t) и T T (q, p, t) , являющихся
в общем случае функциями обобщенных координат q = ( q1 , q2 , …, qs ), где s
– число степеней свободы, импульсов p = ( p1 , p2 , …, ps ) и времени t, можно ввести скобку Пуассона, которая определяется формулой
s |
L |
|
T |
|
L T |
|
|
|||
(L,T )сп |
|
|
. |
(2.3) |
||||||
qi |
|
pi |
|
|
|
|
||||
i 1 |
|
|
pi qi |
|
||||||
Иногда обобщенные координаты qi и импульсы pi |
называют каноническими |
|||||||||
переменными.
Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, непосредственно связанными с их определением (2.3).
1. Антисимметричность скобок Пуассона
(L,T )сп (T , L)сп .
Если переставить местами динамические переменные, то скобки меняют знак.
2. Равенство нулю скобки Пуассона, составленной с константой с
(L,c)сп 0 .
3. Линейность по каждому аргументу
(L1 L2,T )сп (L1,T )сп (L2,T )сп .
4. Распределительность по отношению к умножению
(L1L2 ,T )сп (L1,T )сп L2 L1(L2,T )сп ,
(L,T1T2 )сп (L,T1)спT2 T1(L,T2 )сп ,
5. При частном дифференцировании скобок Пуассона по времени выполняется правило Лейбница
|
L,T сп |
L |
|
||
|
|
|
,T |
||
t |
t |
||||
|
|
сп |
|||
|
T |
L, |
. |
|
t сп |
6. Между скобками Пуассона, составленными из трех динамических переменных, существует соотношение, называемое тождеством Якоби
(L,(T, E)сп )сп (T,(E, L)сп )сп (E,(L,T )сп )сп 0 .
Введем для операторов |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
, |
|
L |
и T |
квантовую скобку Пуассона L,T |
|||
которая является аналогом |
классической скобки Пуассона |
(L,T )сп |
и |
||
удовлетворяет всем ее свойствам (1) – (6). Этих требований, оказывается,
достаточно, |
чтобы |
получить |
ограничение |
на |
возможное нарушение |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
коммутативности L |
и T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
Рассмотрим квантовую скобку Пуассона L1L2 |
,T1T2 двух операторных |
|||||
произведений |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
Эту скобку |
можно |
преобразовать двумя |
|
L1L2 |
и T1T2 . |
|||||
способами. Первый способ заключается в применении первого соотношения
из четвертого свойства |
скобок |
Пуассона |
|
|
ˆ |
ˆ |
||||
к произведению L1L2 , а затем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
. Во втором |
второго соотношения из этого же свойства к произведению T1T2 |
||||||||||
способе действия |
происходят |
в обратном порядке: вначале |
применяем |
|||||||
ˆ |
ˆ |
|
к |
ˆ |
ˆ |
|
выкладок приравняем оба |
|||
соотношение к T1T2 , затем |
L1L2 . После |
|||||||||
результата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
L1,T1 (L2T2 |
T2L2 ) (L1T1 |
T1L1) L2 ,T2 , |
|
|||||||
и перепишем это равенство в виде |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
(L1T1 |
T1L1) |
|
(L2T2 |
T2L2 ) |
. |
|
||
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
||||
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
||
|
|
L1,T1 |
|
L2 ,T2 |
|
|
|
|||
ˆ |
ˆ |
никак не связаны с операторами |
ˆ |
ˆ |
, |
Поскольку операторы L1 |
и T1 |
L2 |
и T2 |
то это равенство выполняется, когда каждое из отношений будет постоянной величиной α, т. е.
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
|
|
(LT |
TL) |
|
[L,T ] |
. |
|||
L,T |
|
L,T |
|
||||
|
|
||||||
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
Отсюда следует важный вывод. Коммутатор операторов, изображающих динамические переменные, пропорционален квантовой скобке Пуассона
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
, |
[L,T ] L,T |
||
т. е. с формализмом скобок Пуассона совместна не любая некоммутативность операторов.
Скобка Пуассона в классической механике является вещественной величиной, поэтому и квантовая скобка Пуассона записывается в виде вещественной матрицы:
|
|
|
L,T |
|
|
L,T |
. |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
* |
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
Для эрмитовых операторов L и |
T |
выполняется равенство |
|||||||
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
||
[L,T ] |
(LT ) |
|
(TL) |
|
|
(TL) (LT ) [L,T ] . |
|||
Из него следует мнимость числа α при условии вещественности скобки ˆ ˆ
L,T
,т. е. * . По абсолютной величине оно равно универсальной
постоянной Планка 2h . При построении квантовой механики именно
здесь впервые и появляется постоянная Планка. Такой способ введения может служить просто ее определением. Значит, запишем i (см. также п.
3.2).
В результате получаем следующую связь между коммутатором |
ˆ |
ˆ |
||||
[L,T ] и |
||||||
|
ˆ ˆ |
: |
|
|
|
|
квантовыми скобками Пуассона L,T |
|
|
|
|
||
ˆ |
ˆ |
|
ˆ ˆ |
. |
|
(2.4) |
[L,T ] i L,T |
|
|||||
ˆ |
и |
ˆ |
|
L |
и T |
|
Итак, когда операторы L |
T |
динамических переменных |
||||
удовлетворяют соотношению коммутации (2.4), соответствующая физическая система будет квантовой. Причем из (2.4) следует, что задача о нахождении условий коммутации (коммутационных соотношений) сводится к задаче о вычислении квантовых скобок Пуассона. В свою очередь, в
последней задаче используется аналогия между квантовой и классической механиками, поскольку классическая механика содержится в квантовой в
виде предельного случая |
при |
0 |
(когда физические величины |
размерности действия значительно больше |
). |
||
В качестве примера найдем коммутационные соотношения, которым |
|||
подчиняются операторы |
qˆi и |
pˆ j |
канонических переменных. Из |
классической теории известно, что фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от канонических переменных qi и рj, равны
(q , q |
j |
) |
сп |
0 |
, |
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( pi , p j )сп 0 |
, |
(2.5) |
||||||
|
|
|
|
)сп ij . |
|
|||
(qi |
, p j |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем последнее равенство в (2.5) с помощью определения скобок Пуассона (2.3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi , p j |
|
s |
|
q p j |
|
q p j |
|
s |
||||
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
ik jk ij . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
сп |
k 1 |
|
q p |
|
p q |
|
k 1 |
||||
|
|
|
k |
|
k |
|
k k |
|
||||
|
|
|
|
ik |
|
jk |
|
0 |
|
|
||
Согласно принципу соответствия предположим, что квантовые и классические скобки Пуассона имеют одинаковые значения (см. (2.5)). Поэтому выражение (2.4) для операторов координат qˆi и импульсов pˆ j
[qˆi , pˆ j ] i qˆi , pˆ j ,
преобразуется к виду
[qˆ |
, qˆ |
|
] 0 , |
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ pˆi , pˆ j ] 0 , |
|
(2.6) |
||||
|
|
|
|
ˆ |
|
, |
[qˆi |
, pˆ j ] i I |
ij |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Эти равенства, которым удовлетворяют qˆi и pˆ j , являются основными
квантовыми условиями, показывающими, в чем заключается некоммутативность операторов канонических переменных qi и рj. Кроме того, использование этих соотношений позволит найти коммутационные соотношения между другими операторами, изображающими динамические переменные.