КВАНТЫ билеты / 1,19. Линейный гармонический осциллятор - копия

Линейный гармонический осциллятор

К одной из простейших задач квантовой механики по изучению движения частицы в потенциальном поле относится задача о линейном гармоническом осцилляторе. Для этой системы стационарное уравнение Шредингера может быть решено строго. Существует достаточно много физических явлений, которые объясняются на основе квантовой теории простого гармонического осциллятора. В качестве примеров отметим электромагнитное излучение и колебания кристаллической решетки твердого тела. Поэтому в квантовой механике задача по поиску собственных значений и функций оператора Гамильтона квантового гармонического осциллятора занимает особое место.

Приступим к решению отмеченной задачи, рассматривая для простоты одномерный квантовый гармонический осциллятор. Стоит напомнить, что данная динамическая система имеет классический аналог. Примером его может служить тело массой m, совершающее одномерное колебательное движение около положения равновесия с малой амплитудой x под действием квазиупругой силы F kупx в отсутствие трения (kуп – это силовая постоянная или постоянная упругой силы, равная значению второй производной потенциальной энергии U по координате x в точке равновесия).

В классической механике одномерный гармонический осциллятор характеризует функция Гамильтона

Задачу об осцилляторе можно рассматривать в координатном и энергетическом представлениях. Однако наиболее просто она решается в так называемом представлении Фока. Остановимся на двух способах решения: в координатном представлении и в представлении Фока.

Гармонический осциллятор в координатном представлении.

Соответствующее гамильтониану (4.18) стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении записывается в виде

Из рис. 4.6 видно, что потенциальная кривая U (x) образует нечто похожее на

яму с отражающими стенками, рассмотренную в п. 4.2. Однако из-за того, что в пределах ямы потенциальная энергия не имеет постоянного значения, а изменяется по параболическому закону, процедура решения уравнения (4.19) сильно усложняется с точки зрения математических выкладок.

С целью упрощения решения уравнения (4.19) удобно перейти от координаты x и полной энергии E к безразмерным переменным и согласно соотношениям

Особыми точками этого уравнения являются две точки . В этих точках( ) стремится к бесконечности, что с физической точки зрения не должно происходить. Поэтому нужно найти такие решения ( ), которые были бы конечными при стремлении к . Далее будет показано, что такого рода решения существуют только при определенных значениях .

Поиск функций ( ) начнем с изучения предельного случая, когда очень велико. Тогда 2 , так что в уравнении (4.22) можно опустить , как величину малую по сравнению с 2 , и записать упрощенное уравнение

При больших значениях этому асимптотическому уравнению с достаточной точностью удовлетворяют две функции

1а ( ) = С1e 2 /2 и а2 ( ) = С2e 2 /2 .

В показателе экспоненты надо выбрать знак минус, поскольку решение с положительным показателем возрастает до бесконечности в точках , а значит, его следует отбросить, т. е. считать С1 0 .

Принимая во внимание этот предельный случай, решение уравнения (4.22) будем искать в виде

где F ( ) – некоторая неизвестная функция, которую надо найти.

Подставим (4.24) в уравнение (4.22) и возьмем вторую производную. После этого сделаем ряд простых преобразований и выполним сокращение

на e 2 / 2 . В итоге приходим к дифференциальному уравнению для функции

F ( )

Решение F ( ) этого уравнения можно искать в виде ряда по целым положительным степеням

k 0

Подставив этот степенной ряд в уравнение (4.25) и взяв производные, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получим рекуррентную формулу для коэффициентов ak :

которая позволяет последовательно определить все ak при заданных произвольно коэффициентах a0 и a1 .

Для того, чтобы ( )-функция в виде (4.24) была конечной при , функция F ( ) не должна обращаться в бесконечность быстрее конечной степени . Это означает, что степенной ряд (4.26) необходимо оборвать на некотором члене k = n, т. е. функция F ( ) должна быть представлена

где n = 0, 1, 2, … .

Таким образом, для каждого значения n функцию F( ) Fn ( ) заменяют полиномом n-го порядка

n

Fn ( ) ak k . k 0

Если здесь выбрать ak 2k , то полином совпадет с полиномом Эрмита (Чебышева – Эрмита), который обычно обозначают через Hn ( ) . Эти полиномы определяются с помощью формулы

H n ( ) ( 1)n e 2 d n (e 2 ) . d n

В частности,

H0 ( ) 1, H1( ) 2 , H2 ( ) 4 2 2 и т.д.

Окончательно, находим решения ( ) = n ( ) уравнения (4.22), которые

нумеруются колебательным квантовым числом n и описывают стационарные состояния гармонического осциллятора. Если n ( )-функции нормированы

по переменной на единицу, то они имеют вид

С помощью этой формулы не представляет особого труда найти функции n (x ) аргумента x.

В качестве примера запишем нормированные n (x )-функции для первых двух состояний:

Из равенства (4.27) следует, что параметр , который в силу (4.21) определяет полную энергию Е линейного гармонического осциллятора, может принимать только дискретные значения.

Поэтому энергия Е осциллятора квантуется. Она принимает значение Еn, когда осциллятор находится в n-м стационарном состоянии, описываемом n (x )-функцией. Сравнивая (4.21)

и (4.27) находим возможные значения энергии Еn гармонического осциллятора

следующее. Квантование энергии гармонического осциллятора оказалось следствием условия конечности n (x )-функции во всем пространстве.

На рис. 4.8 в качестве примера приведены распределения плотности

собственными векторами E выглядит следующим образом

Решения этого уравнения можно получить, опираясь лишь на коммутационные соотношения.

Прежде чем начать поиск решений, введем два новых безразмерных оператора aˆ и aˆ , которые связанны с операторами координаты xˆ и

По причинам, которые станут ясными позднее, оператор aˆ называют

оператором уничтожения, а aˆ – оператором рождения. Эти операторы а) эрмитово сопряжены друг другу,

б) не являются эрмитовыми операторами, следовательно, не изображают наблюдаемые величины; в) не коммутируют друг с другом.

Используя (4.31), вычислим коммутатор операторов aˆ и aˆ

Действуя оператором рождения aˆ на кет-вектор n , получим вектор n 1 , соответствующий собственному значению (n 1)

аˆ

n n 1 .

.

Таким образом, с помощью операторов aˆ и aˆ можно создать два кетвектора, которые будут соседями для кет-вектора n . Соседние собственные

значения n оператора ˆ отличаются на единицу, следовательно, числа n N

принадлежат множеству целых чисел, поэтому образуют дискретный спектр.

Кроме того, из выражения для гамильтониана ˆ (4.18) следует, что значения

H

полной энергии Е неотрицательны, а значит и числа n должны быть неотрицательными, т. е. n = 0, 1, 2, … .

результат действия операторов aˆ и aˆ на эти векторы находят по формулам:

Кетвектор 0 является вектором основного состояния осциллятора и

соответствует собственному значению n равному нулю. Иногда он называется вектором вакуумного состояния (или просто вектором вакуума).

Все остальные нормированные на единицу собственные кет-векторы n

оператора ˆ (векторы возбужденных состояний осциллятора) могут быть

N

получены путем последовательного действия оператора рождения aˆ на кетвектор 0

Не представляет сейчас особых сложностей найти для гармонического осциллятора и n (x )-функции. Для этого воспользуемся соотношением (4.40)

и учтем выражение (4.31а) для оператора уничтожения aˆ :

Переходя к координатному представлению, получаем дифференциальное уравнение первого порядка

других n -состояний. Для этого надо применить формулу (4.41), учитывая

выражение (4.31б) для оператора рождения aˆ , после чего записать полученное равенство в координатном представлении.