КВАНТЫ билеты / 2. Абстрактное гильбертово пространство

Абстрактное гильбертово пространство

Гильбертовым пространством называется множество математических объектов (элементов), на котором каждой паре объектов f и g по некоторому правилу, называемому скалярным произведением f на g, сопоставляется в соответствие, в общем случае, комплексное число. Скалярное произведение f на g будем обозначать символом (f, g). Следует сказать, что оно вводит метрику в гильбертовом пространстве.

Пространство Гильберта является линейным пространством. Это означает, что оно удовлетворяет следующим аксиомам:

1)в пространстве определена операция сложения, т. е. двум элементам f

иg R ставится в соответствие третий элемент h = (f + g) . Причем операция сложения обладает свойствами:

•f + g = g + f (коммутативность сложения),

•(h + g) + f = h + (g + f) (ассоциативность сложения);

2)в пространстве определена операция умножения на число, т. е.

любому элементу f и любому числу α ставится в соответствие элемент α f . Для этой операции выполняются:

• α (f + g) = α f + α g (свойство дистрибутивности),

•1 g = g;

3) пространство содержит нулевой элемент 0, для которого выполняется равенство 0 + f = f с любым f. Кроме того, нулевой элемент 0 единственный и для него справедливо 0 f = 0 (слева число нуль, а справа нулевой элемент пространства);

4) для каждого f существует противоположный элемент –f такой, что f + (–f) = f – f = 0 .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1)(f, g) = (g, f)*, где звездочка обозначает комплексное сопряжение;

2)(f, g+g /) = (f, g) + (f, g /);

3)(f+f /, g) = (f, g) + (f /, g);

4)(f, α g) = α (f, g), где α – комплексное число;

5)(α f, g) = α*(f, g).

Из свойств 2 – 5 видно, что скалярное произведение линейно по отношению ко второму элементу g пары и антилинейно по отношению к первому f.

Если выполняется равенство (f, g) = 0, то f и g ортогональны друг другу. Значение (f, f) является неотрицательным вещественным числом: (f, f) ≥ 0. Равенство (f, f) = 0 имеет место, когда f = 0. Для элемента f можно ввести понятие его нормы

f ( f , f ) .

Норма может быть конечной или бесконечной. Если норма f равна 1, то

элемент f называется нормированным. Путем задания

f g

вводится метрика.

В дальнейшем при изложении математического формализма квантовой механики будем использовать обозначения П. Дирака. Объект, являющийся

Кет-векторам можно поставить во взаимно-однозначное соответствие векторы сопряженного (дуального) пространства * (рис. 1.1). Вектор из *

вектора g сопряженным будет бра-вектор g и для них выполняется равенство

Отметим ряд особенностей гильбертова пространства . Оно может быть как n-мерным и обозначаться символом n, так и бесконечномерным и обозначаться . В первом случае пространство имеет конечное число n линейно-независимых векторов, во втором случае – бесконечное число.

Для пространства n термин n линейно-независимые векторы l1 , …, ln

n

означает, что их линейная комбинация α1 l1 + … + αn ln = i li , где

i 1

α1, α2, … – это произвольные числа, обращается в нуль только при значениях α1 = α2 = …= αn = 0. Причем любая существующая в пространстве n система

n, можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов l1 , …, ln

i 1

где коэффициенты g1, g2, …, gn – это компоненты (координаты) кет-вектора

существование конечного базиса. Гильбертово пространство может быть сепарабельным – оно содержит в качестве подпространства счетное и всюду плотное множество, поэтому каждый элемент пространства будет пределом

где числа g1, g2, …– коэффициенты разложения кет-вектора g .

Принадлежащий не сепарабельному пространству кет-вектор g может быть записан через векторы непрерывного континуального базисаl , где ξ – непрерывный параметр

В этом случае сумма заменяется интегралом, а интегрирование проводится по области значений, которые может принимать параметр ξ.