Хрестоматия часть 1 / Kon шпенглер закат европы

Античная религиозность с возрастающей определенностью сосредоточивается на чувственно непосредственных – связанных с местом – культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое, божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. В евклидовой матема­тике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их зна­чение для эзотерики платоновской школы. Этому соответст­вует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконеч­ности начиная с Декарта с современной ему догматикой, уст­ремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувст­венных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д'Аламбер – современники. Из недр античного духа принцип иррацио­нального, т.е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, вос­принимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в "Тимее" это чувство выступает с полной очевид­ностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный, оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представ­ление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе – обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: -2 *-3 = + б не является ни наглядным, ни представлением величины. На + 1 кончается ряд величин. В графическом изображении отрицательных чисел (⁺³--,^+2__,⁺¹--,⁰—,^-1—,^-2—,^-3), начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительны­ми символами чего-то отрицательного. Они обозначают что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные чис­ла не величины, но что-то такое, на что величины только на­мекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий на­правления античного числового мышления.

Все родившееся из античного духа становится действи­тельностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, – не "число". Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пла­стическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как про­тяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е^-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обоз­начение 5^1/2 показалось бы античному чувству полным абсур­дом. Евклид называет множители произведения сторонами (). В древности оперируют с дробями – конечными, само собою разумеется – прибегая к исследованию отноше­ния двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышле­ния, что это только "первоначальная ступень" в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве суще­ственных элементов своего мира чисел многое из того, что с точки зрения античного числового чувства являлось бы бес­смысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невоз­можным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привык­ли, руководясь гордостью исторического ума, называть "примитивным". Современная математика, одно из высших дости­жений западного духа – и во всяком случае "истинная" только для нас – показалась бы Платону смешным и бес­плодным заблуждением и уклонением на пути к достижению "истинной", конечно, в античном смысле математики, и трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.

6

В качестве ученья о наглядных величинах античная мате­матика ставит себе целью исключительно истолкование на­личных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследо­вание и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается не­что в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, одна­ко, стало известным только после открытия неэвклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, сле­довательно, самостоятельной проблемой. Совпадение матема­тических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, эвклидова геомет­рия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах ("на бумаге") приблизительным образом согласует­ся с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояни­ях, видно из простого факта, что параллельные линии пересе­каются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для запад­ного мыслителя образом уклонялся от "математики далеких пространств" и постоянно, совершенно по-античному, ссылал­ся на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Эвклид также избегал ссылаться для доказатель­ства справедливости своих аксиом на пример такого треуголь-1 ника, три вершины которого определялись бы местонахожде-I нием наблюдателя и двумя неподвижными звездами, и кото-т рый, следовательно, не мог быть ни нарисован, "ни созерца-. ем"; это является, однако, вполне обоснованным для антич-а ного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, ко-

• торое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало

• понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при