KN_Vse_lektsii / algan27

Алгоритмический анализ. Лекция 27.

Программирование на Scheme

Динамическое программирование

Динамическое программирование в математике и теории вычислительных систем — метод решения задач с оптимальной подструктурой и перекрывающимися подзадачами, который намного эффективнее, чем решение «в лоб» (brute force).

Словосочетание динамическое программирование впервые было использовано в 1940-х годах Ричардом Беллманом для описания процесса нахождения решения задачи, где ответ на одну задачу может быть получен только после решения задачи, «предшествующей» ей. Вклад Беллмана в динамическое программирование был увековечен в названии уравнения Беллмана, центрального результата теории динамического программирования, который переформулирует оптимизационную задачу в рекурсивной форме.

Слово «программирование» в словосочетании «динамическое программирование» в действительности к традиционному программированию (написанию кода) почти никакого отношения не имеет и происходит от словосочетания «математическое программирование», которое является синонимом слова «оптимизация».

Довольно часто на олимпиадах встречаются задачи, провоцирующие к применению алгоритмы перебора. Но простой подсчет числа вариантов убеждает в неэффективности такого подхода. Для решения таких задач используется метод динамического программирования. Суть его заключается в том, что для поиска решения поставленной задачи решается похожая (или похожие), но более простая. При этом осуществляется переход к еще более простым и так далее, пока не доходят до тривиальной.

Динамическое программирование обычно применяется к задачам, в

которых искомый ответ состоит из частей, каждая из которых в свою очередь дает оптимальное решение некоторой подзадачи.

Динамическое программирование полезно, если на разных путях многократно встречаются одни и те же подзадачи; основной технический приѐм — запоминать решения встречающихся подзадач на случай, если та же подзадача встретится вновь.

В типичном случае динамическое программирование применяется к задачам оптимизации. У такой задачи может быть много возможных

Применим метод динамического программирования.

Левая верхняя клетка, как и все остальные в итоге должна быть закрыта одной из плиток. При этом у нас есть всего два варианта: плитка располагается вертикально или горизонтально.

При вертикальном расположении плитки свободным остается поле 2*(N-1). При горизонтальном положении у нас не остается выбора для размещения плитки, которая закрыла бы левый нижний угол, значит, для дальнейшего решения остается поле 2*(N-2).

Таким образом, если обозначить F(N) – число вариантов размещения плиток на дорожке длины N (а это потом и будет ответом нашей задачи), то имеем формулу:

F(N) = F(N-1) + F(N-2)

При этом легко можно посчитать, что F(1) = 1 и F(2) = 2.

Внимательно присмотревшись к этой закономерности, мы узнаем в ней известную последовательность чисел Фибоначчи:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т.д.

Каждое число равно сумме двух предыдущих и все начинается с 1 и 2, как и в нашем случае.

Конечно, можно строго следуя определению, написать рекурсивный алгоритм:

(define (fibb n)

(if (<= n 1) 1 (+ (fibb (- n 1)) (fibb (- n 2)))))

При этом на шестом-седьмом десятке программа 'подвесит' самый быстрый компьютер. Попробуем разобраться, почему так происходит?

Для вычисления F(40) мы сперва вычисляем F(39) и F(38). Причем F(38) мы считаем ―по новой‖, ―забывая‖, что уже вычислили его, когда считали F(39).

То есть наша основная ошибка в том, что значение функции при одном и том же значении аргумента считается много (слишком много!) раз.

Лучше использовать итерационный алгоритм:

(define (fib n)

(define (iter k a b) (if (= k n) b

(iter (+ k 1) b (+ a b)))) (iter 1 1 1))

Мячик на лесенке

На вершине лесенки, содержащей N ступенек, находится мячик, который начинает прыгать по ним вниз, к основанию. Мячик может прыгнуть на следующую ступеньку, на ступеньку через одну или через 2. (То есть, если мячик лежит на 8-ой ступеньке, то он может переместиться на 5-ую, 6-ую или 7-ую.) Определить число всевозможных "маршрутов" мячика с вершины на землю.

Пусть мячик находится на некоторой ступеньке с номером X. Тогда он может спрыгнуть на ступеньки с номерами X - 1, X - 2 и X - 3. Если мы введем функцию F(X), которая определяет число маршрутов со ступеньки X до земли, то

F(X) = F(X – 1) + F(X – 2) + F(X – 3).

Остается просчитать вручную граничные значения: F(1) = 1, F(2) = 2 (очевидно), F(3) = 4 (3–2–1–0, 3–2–0, 3-1–0, 3–0). Все остальное уже сделано в предыдущей задаче. Чтобы не загромождать функцию, можно присваивания граничных значений сделать заранее, тогда отсечение произойдет автоматически:

(define (ball n)

(define (iter k a b c)

После этого нетрудно и восстановить оптимальный путь. На каждом шаге нам необходимо перемещаться к минимальному из двух значений: вправо или вниз.

Алгоритм полного перебора всех маршрутов требовал бы порядка 2N действий, а нам удалось обеспечить всего N2, где N – размер таблицы.

В процессе реализации вычислений нам удобно создать функцию построения матрицы стоимостей таким образом, как будто мы идем в обратную сторону.

; Функция делает список из сумм элементов, ;расположенных до заданного включительно.

(define (lst-sum lst)

(reverse (foldl (lambda (x rez) (cons (+ x (car rez)) rez)) (list (car lst)) (cdr lst))))

(define (matr-sum A)

(reverse (foldl (lambda (lst rez) (cons

(reverse

(foldl (lambda (x y str) (if (< y (car str))

(cons (+ x y) str)

(cons (+ x (car str)) str))) (list (+ (car lst) (caar rez))) (cdr lst) (cdar rez)))

rez))

(list (lst-sum (car A))) (cdr A))))

В результате работы этой функции получим матрицу сумм. Последний элемент этой матрицы является ответом на вопрос о стоимости оптимального пути. Для получения самого маршрута достаточно, пользуясь этой матрицей сумм, перемещаться в

обратном направлении, т.е. влево и вверх, переходя на каждом шаге к той из двух соседних клеток, где сумма меньше.

Задача о счастливых билетах

Пусть билет содержит 6 цифр. Обычно называют его счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Будем считать, что наши билеты имеют 2*N цифр. Требуется посчитать количество счастливых билетов для заданного N.

Здесь тоже попытаемся обойтись без перебора. Но в этом случае просто так не удается свести задачу для данного N к задачам для меньших N. Необходимо ввести новую вспомогательную характеристику.

Обозначим количество n-значных номеров с суммой цифр, равной k, через Fn(k).

Найдем F1(k). Нужно определить, сколько однозначных чисел имеет сумму цифр k. Но для однозначного числа сумма цифр совпадает с самим числом. Значит

Предположим теперь, что мы уже знаем значения Fn–1(k) для всех k. Попробуем выразить через них Fn(k). Другими словами, попробуем найти количество n-значных номеров с суммой цифр, равной k, предполагая, что для (n–1)-значных номеров задача уже решена.

Пусть первой цифрой n-значного номера является число t. Чтобы сумма цифр этого номера была равна k, остальные его цифры должны в сумме дать k – t . Таких (n–1)-значных номеров существует Fn–1(k – t ). Цифра t может быть любым целым однозначным числом, не превосходящим k (то есть 0 ≤ t ≤ 9 , t≤ k ), и каждой из этих цифр соответствует Fn–1(k – t ) n-значных номеров с суммой цифр, равной k, причѐм все эти номера различны. Значит, всего таких номеров будет

Fn(k) = ∑ i=0..9 Fn-1(k-i) (*)

причѐм, если k < 9 , то для t> k соответствующие значения Fn– 1(k – t ) мы будем считать равными нулю.

По формуле (*) можно вычислить значения Fn(k) для всех k, если известны значения Fn–1(k). А так как значения F1(k) мы уже знаем, то задача решена!

Заметим, что при вычислении очередного значения функции можно не вычислять сумму десяти элементов по формуле (*), а производить вычисления по схеме:

Fn(k) = Fn(k-1) + Fn-1(k) – Fn-1(k-10)

Нагляднее всего процесс решения можно показать на таблице.

Таблица значений Fn(k)

Теперь по таблице можно подсчитать число счастливых билетов с (2*N)-значными номерами.

Для этого все числа в N-м столбце таблицы нужно возвести в квадрат и сложить.

Например, мы получим для двузначных номеров, т.е. для

N = 1, ответ = 10,

для четырехзначных номеров, N = 2, ответ = 670,

для шестизначных номеров, N = 3, ответ = 55 252,

для восьмизначных номеров, N = 4, ответ = 4 816 030.