ИДЗ 2_определенные интегралы

1

4

dx

a

1. Вычислить интегралы:

а)

ln(x 1)dx;

б)

;

в)

x2

a x2 dx .

1

0

0

2x 1

0

2. Найти среднее значение функции

f (x) x2

на отрезке 0,1 .

2

dx

3. Оценить интеграл

.

10 3cos

3

0

x

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 2y2,

x 1 3y2 .

5. Вычислить площадь фигуры, лежащей вне круга a и ограниченной кривой 2acos3 .

6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

y 1 2 x,

y 2,

x 0,

а) вокруг оси Oy ,

б) вокруг оси Ox .

7.

Вычислить длину одной арки циклоиды x a t sint ,

y a 1 cost .

Вариант 2

2

4

2 dx;

dx

3

dx

1.

Вычислить интегралы:

а)

x3ex

б)

;

в)

.

1

2

1 1 x2 3

1

1

x

2.

Найти среднее значение функции

f (x) sin2

x

на отрезке 0, .

10

x

1

3.

Оценить интеграл

dx .

3

2

8

x

4.

Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой

y x2

2x 3, касательной к ней в

точке M 2, 5 и осью ординат.

5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой

a 1 cos и

a

содержащей точку с декартовыми координатами

,0 .

2

6.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

y sinx,

x

,

y 0 ,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

2

7.

Вычислить длину астроиды x a cos3 t,

y a sin3 t .

1.

Вычислить интегралы:

Вариант 3

12

4

2

4

lncos

x

2x 1

x

а)

dx ;б)

dx;

в)

8

dx .

2

4

0

cos

x

4

x

2

x

2

2.

Найти среднее значение функции

f (x) a bcosx

на отрезке , .

1

2

3.

Оценить интеграл

3 x

dx.

7

1

8 x

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 10x 25,

y2 6x 9 .

y2 x3 , осью Ox и прямой x 1,

а) вокруг оси Ox

б) вокруг оси Oy .

7. Найти длину дуги кривой x t2

2 sint 2t cost,

y 2 t2 cost 2t sint , заключенной

между точками, соответствующими значениям параметра t1 0,

t2 .

29

3 x 2 2

2

2

3

xsin

x

4 x

1.

Вычислить интегралы:

а)

dx;

б)

dx;

в)

dx .

2

4

cos

x

3 3 3 x 2 2

1

x

3

на отрезке 1, 5 .

2.

Найти среднее значение функции f (x) 3x2

2x 1

2

2

3

1

1

3.

Оценить интеграл

x

dx

.

5

5

1

x

1

2

x2 y2 a2,

x 2a, а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7. Найти длину дуги кривой x et cost,

y et

sint , заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t1 0,

t2 ln .

2

1

ln5

1 x2

x

x

4

e

e

1

1.

Вычислить интегралы: а) sin

x

dx; б)

dx;

в)

dx .

x

x

2

0

0

e

3

2

2

2.

Найти среднее значение функции

f (x) cos3 x

на отрезке 0, .

3

3.

Оценить интеграл

3 x3 dx .

1

x2

4.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y 4x2 ,

y

и прямой y 2.

9

y x2 1,

x 1,

x 1,

y 0,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

7.

Вычислить длину дуги кривой x 8at3,

y 3a 2t2

t4 ,

заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t1 0,

t2

.

2

Вариант 6

1

ln2

2a

arcsin x

x2

a2

1.

Вычислить интегралы:

а)

dx ;

б)

ex 1dx;

в)

dx .

x

4

0

1 x

0

a

2.

Найти среднее значение функции

f (x) 10 2sin x 3cosx

на отрезке 0, 2 .

2

2

5

3.

Оценить интеграл

x

dx .

5

0

x

2

4.

Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y 2x,

y 2 2x , x 0,

y 2.

5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2cos ,

1 (вне круга

1).

6.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

x2 y2 1,

y 0,

y

3x

,

а) вокруг оси Ox ,

б) вокруг оси Oy .

2

7.

Найти длину дуги кривой x 8sint 6cost,

y 6sint 8cost ,

заключенной между точками,

соответствующими значениям параметра t

0,

t

2

.

1

2

1

5

2

x2dx

xdx

2

1.

Вычислить интегралы:

а)

x 1 e xdx ;

б)

;

в)

.

0

1

4x 5

0

2 x2 3

2.

Найти среднее значение функции

f (x) 3x 2x 3 на отрезке 0, 2 .

3

3.

Оценить интеграл

ex2 x dx .

1

y x, y 2x x 0 ,.

4.

Найтиплощадь фигуры, заключенноймеждулиниями y x3,

5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos

и

a

содержащей точку M

,0

.

2

6.

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

x2 y2 4,

y 2,

x 0,

а) вокруг оси Oy ,

б) вокруг оси Ox .

Вычислить длину дуги полукубической параболы x t

2

,

y

2

t

3

7.

,

заключенной между точками,

3

соответствующими значениям параметра t1 0,

t2 2

2

.