Глава 5 Актуарные расчеты

5.1. Сущность, особенности и задачи актуарных расчетов

Актуарныеѝ расчетыѝ —ѝ совокупностьѝ математическихѝ иѝ статистическихѝзакономерностей,ѝрегламентирующихѝфинансовыеѝвзаимоотношенияѝмеждуѝстраховщикомѝиѝстрахователями,ѝкотораяѝотражаетѝвѝматематическомѝвидеѝмеханизмѝобразованияѝиѝрасходованияѝстраховогоѝфондаѝвѝдолгосрочныхѝстраховыхѝоперациях.ѝКѝактуарнымѝрасчетамѝотносятѝрасчетыѝтарифовѝпоѝлюбомуѝвидуѝстрахования,ѝ включаяѝ страхованиеѝ жизниѝ иѝ пенсий,ѝ страхованиеѝ наѝ случайѝинвалидности,ѝстрахованиеѝимущества.ѝНаѝактуарныхѝрасчетахѝбазируетсяѝработаѝлюбогоѝстраховщика.ѝЭтоѝобусловленоѝтем,ѝ чтоѝстраховщик,ѝкакѝправило,ѝпроводитѝрядѝразличныхѝпоѝсодержаниюѝиѝхарактеруѝвидовѝстрахования,ѝтребующихѝадекватногоѝматематическогоѝ измеренияѝ обязательств,ѝ взятыхѝ поѝ договорам.ѝ Приѝ исчисленииѝ страховыхѝ взносовѝ иѝ страховыхѝ выплатѝ ихѝ размерыѝ должныѝ варьироватьсяѝ вѝ различныхѝ иерархическихѝ структурахѝ сѝ различнымиѝусловиямиѝрисковыхѝситуаций.ѝПриѝпроведенииѝактуарныхѝрасчетовѝследуетѝучитывать,ѝчтоѝприѝимущественномѝстрахованииѝимеетѝместоѝбольшойѝразбросѝвѝобъемахѝнаносимогоѝущербаѝ приѝнаступленииѝстраховыхѝслучаевѝ(например,ѝстоимостьѝдомашнегоѝимуществаѝиѝстоимостьѝпромышленногоѝоборудования,ѝавтотехникиѝиѝт.п.).ѝПриѝстрахованииѝимуществаѝприѝактуарныхѝрасчетахѝ определяетсяѝ рисковаяѝ надбавка,ѝ котораяѝ неѝ рассчитывается,ѝ например,ѝ приѝ страхованииѝ жизни,ѝ страхованииѝ наѝ дожитие,ѝ такѝ какѝвѝэтихѝслучаяхѝстраховыеѝсуммыѝсравнительноѝневелики.ѝСѝпомощьюѝ актуарныхѝ расчетовѝ определяетсяѝ доляѝ участияѝ каждогоѝ страхователяѝвѝсозданииѝстраховогоѝфонда,ѝт.е.ѝопределяютсяѝразмерыѝтарифныхѝставок.ѝМетодологияѝактуарныхѝрасчетовѝоснованаѝ наѝиспользованииѝтеорииѝвероятностей,ѝдемографииѝиѝдолгосрочныхѝфинансовыхѝисчислений.ѝ

Теорияѝвероятностейѝприменяетсяѝпотому,ѝчтоѝразмерыѝтарифнойѝставкиѝвѝпервуюѝочередьѝзависятѝотѝстепениѝвероятностиѝстраховогоѝслучая.ѝСведенияѝпоѝдемографииѝнужныѝприѝрасчетахѝдляѝдифференциацииѝтарифовѝвѝсоответствииѝсѝвозрастомѝзастрахованного.ѝ Приѝпомощиѝметодологииѝдолгосрочныхѝфинансовыхѝисчисленийѝвѝ тарифахѝучитываетсяѝтотѝдоход,ѝкоторыйѝполучаетѝстраховщикѝотѝиспользованияѝ вѝ качествеѝ кредитныхѝ ресурсовѝ аккумулированныхѝ взносовѝстрахователей.ѝ

113

5.2. Методологические вопросы актуарных расчетов

Актуарныеѝ расчетыѝ разделяютѝ по:ѝ видамѝ страхованияѝ (личное,ѝ имущественноеѝиѝт.д.);ѝвремениѝсоставленияѝ(плановыеѝиѝотчетные);ѝ иерархическомуѝпризнакуѝ(общие,ѝзональныеѝ(дляѝрегионов),ѝтерриториальныеѝ(район,ѝпоселокѝиѝт.п.)).ѝ

Приѝрасчетеѝпремийѝпоѝстрахованиюѝжизниѝнеобходимоѝучитыватьѝразмерѝобязательств,ѝкоторыеѝпринялѝнаѝсебяѝстраховойѝфонд,ѝ отчисленияѝ вѝ резервы,ѝ управленческиеѝ расходыѝ иѝ прибыль.ѝ Успехѝ страховогоѝфондаѝзависитѝотѝопытаѝактуария.ѝДляѝправильногоѝрасчетаѝпремийѝактуарийѝделаетѝтриѝразличныеѝоценки.ѝКаждаяѝизѝнихѝ должнаѝбытьѝточнойѝдляѝтого,ѝчтобыѝвыполнитьѝсвоюѝзадачуѝиѝобеспечитьѝ необходимыеѝ платежи.ѝ Актуарийѝ решает,ѝ какуюѝ таблицуѝ смертностиѝ использоватьѝ иѝ какѝ интерпретироватьѝ данныеѝ этойѝ таблицы,ѝ чтобыѝ будущиеѝ финансыѝ фондаѝ оказалисьѝ правильными;ѝ оцениваетѝ процентнуюѝ ставку,ѝ которуюѝ сможетѝ получитьѝ фондѝ наѝ суммыѝбудущихѝвложенийѝ(этоѝможетѝстатьѝсамойѝсложнойѝзадачейѝ наѝтекущийѝмомент);ѝрассчитываетѝвозможныеѝзатраты,ѝкоторыеѝпонесетѝфонд.ѝЭтиѝфакторыѝсоставляютѝформулуѝрасчетаѝставокѝпремии.ѝ Формула,ѝ которойѝ актуарийѝ воспользуется,ѝ должнаѝ соответствоватьѝкаждомуѝизѝразличныхѝвидовѝдоговоров.ѝПриѝрасчетахѝпоѝ различнымѝдоговорамѝ(например,ѝдесятилетнегоѝдоговораѝнаѝдожи- тиеѝиѝпожизненногоѝ—ѝдляѝмолодогоѝчеловека)ѝрешаютсяѝразныеѝза- дачи.ѝВсеѝрасчетыѝпроводятсяѝсѝучетомѝвлиянияѝразличныхѝфакторов.ѝВѝличномѝстрахованииѝтаблицы,ѝприменяемыеѝдляѝрасчетаѝпоказателейѝсмертности,ѝобычноѝсоставляютсяѝпоѝрезультатамѝнаблюденийѝзаѝзастрахованнымиѝ(рис.ѝ5.1).ѝ

ѝ

114

Подобныйѝанализѝпроводитсяѝдляѝисчисленияѝобъемаѝстраховогоѝ фонда.ѝОнѝпоказывает,ѝкакоеѝколичествоѝзастрахованныхѝлицѝдоживетѝдоѝокончанияѝсрокаѝдействияѝихѝдоговоровѝстрахованияѝиѝсколькоѝизѝнихѝкаждыйѝгодѝможетѝумереть,ѝуѝсколькихѝизѝнихѝиѝвѝкакойѝ степениѝнаступитѝпотеряѝздоровья.ѝКоличествоѝвыплат,ѝпомноженноеѝнаѝсоответствующиеѝстраховыеѝсуммы,ѝпозволитѝопределитьѝразмерыѝпредстоящихѝвыплат,ѝаѝзначит,ѝиѝразмерыѝстраховогоѝфонда.ѝ Таблицаѝсмертностиѝсодержитѝрасчетныеѝпоказатели,ѝхарактеризующиеѝсмертностьѝнаселенияѝвѝотдельныхѝвозрастахѝ(табл.ѝ5.1).ѝ

ѝ

Т а б л и ц а ѝ5.1 ѝ

Смертностьѝ

ѝ

Дляѝобеспеченияѝфинансовойѝнадежностиѝиѝустойчивостиѝстраховыхѝрасчетовѝнеобходимоѝсравниватьѝуровниѝсмертностиѝстрахователейѝдляѝотдельныхѝвозрастовѝсѝаналогичнымиѝданнымиѝпоѝвсемуѝ населению.ѝСѝэтойѝцельюѝпроводитсяѝвыборочноеѝнаблюдениеѝстрахователей.ѝ Отбираютѝ страховыеѝ отделения,ѝ аѝ затемѝ страхователей.ѝ Поѝ отобраннымѝ вѝ выборкуѝ страхователямѝ собираютсяѝ следующиеѝ сведенияѝпервичногоѝучета:ѝвидѝстрахования,ѝполѝиѝвозраст,ѝдавностьѝ пребыванияѝвѝдоговоре,ѝвремяѝзаключенияѝдоговора,ѝвремяѝвыбытияѝ изѝдоговора,ѝпричинаѝвыбытия.ѝНаѝоснованииѝэтихѝданныхѝдляѝкаждогоѝвозрастаѝразрабатываютѝсведенияѝоѝчислеѝсостоявшихѝвѝдоговореѝнаѝначалоѝгода,ѝчислеѝвыбывшихѝизѝдоговораѝвследствиеѝистеченияѝсрокаѝдействияѝилиѝпоѝслучаюѝсмерти,ѝчислоѝсостоявшихѝвѝдоговореѝпоѝсостояниюѝнаѝконецѝгода,ѝчислоѝсостоявшихѝвѝдоговореѝвесьѝ год.ѝЭтиѝсведенияѝгруппируютсяѝпоѝдавностиѝпребыванияѝвѝдоговоре.ѝПолученныеѝданныеѝпозволяютѝрассчитатьѝпоказателиѝсмертностиѝ дляѝ каждогоѝ возрастаѝ страхователейѝ путемѝ отношенияѝ числаѝ умершихѝстрахователейѝкѝчислуѝсостоявшихѝвѝдоговореѝстрахованияѝ весьѝгод.ѝОниѝсоставляютѝсборныеѝтаблицыѝсмертностиѝиѝиспользуютсяѝдляѝсравненияѝсѝобщимиѝтаблицамиѝсмертностиѝнаселения.ѝ

115

dxѝ=ѝLxѝ—ѝLx+1,ѝ

гдеѝLxѝ—ѝчислоѝлицѝвѝвозрастеѝхѝлет;ѝ ѝdxѝ—ѝчислоѝумершихѝвѝвозрастеѝхѝлет.ѝ

Вероятностьѝдляѝлицаѝвѝвозрастеѝхѝлетѝпрожитьѝгод,ѝт.е.ѝдожитьѝдоѝ возрастаѝхѝ+ѝ1,ѝравна:ѝ

Pxѝ=ѝLx+1ѝ/ѝLx.ѝ

Характеристикиѝчислаѝумершихѝdѝможноѝнайтиѝрасчетнымѝпутемѝ сѝпомощьюѝкоэффициентовѝсмертностиѝqx:ѝ

d0ѝ=ѝL0q0ѝ ѝdxѝ=ѝLxqx.ѝ Вероятностьѝдожитьѝдоѝвозрастаѝxѝ+ѝn:ѝ

nPx=ѝLx+nѝ/ѝLx,ѝ

гдеѝnѝ—ѝчислоѝлетѝпредстоящейѝжизни.ѝ

Вероятностьѝ умеретьѝ вѝ течениеѝ годаѝ дляѝ лицаѝ вѝ возрастеѝ хѝ летѝ определяется:ѝ

qxѝ=ѝ1ѝ—ѝpxѝ=ѝ1ѝ—ѝLx+nѝ/Lxѝ=ѝdxѝ/ѝLx,ѝ

аѝдляѝвозрастаѝотѝхѝдоѝxѝ+ѝn:ѝ

Вероятностьѝпрожитьѝnѝлетѝиѝумеретьѝвѝследующемѝгодуѝсоставит:ѝ

Приведенныеѝформулыѝвероятностейѝдожитияѝилиѝсмертиѝвѝтечениеѝnѝлетѝтакжеѝиспользуютсяѝприѝсоставленииѝтаблицѝсмертностиѝзастрахованныхѝлиц.ѝВѝтакихѝтаблицахѝучитываютсяѝпол,ѝвозрастѝ страхователя,ѝ видѝ страхования,ѝ степеньѝ здоровьяѝ вѝ моментѝ страхования.ѝДляѝсоставленияѝтакихѝтаблицѝнеобходимыѝстатистическиеѝданныеѝзаѝрядѝлетѝстраховыхѝорганизаций,ѝданныеѝстатистикиѝдемографии.ѝ

Располагаяѝпоказателямиѝвероятностиѝумереть,ѝстраховщикѝсѝдостаточнойѝстепеньюѝуверенностиѝможетѝпредположить,ѝкакойѝпроцентѝвѝтечениеѝближайшегоѝгодаѝизѝчислаѝзастрахованныхѝвѝопределеннномѝвозрастеѝможетѝумереть.ѝВѝотдельныеѝгодыѝэтиѝчислаѝмогутѝбытьѝнесколькоѝ большимиѝилиѝменьшими,ѝноѝвероятностьѝслишкомѝбольшихѝотклоне-

116

нийѝчрезвычайноѝмала.ѝПользуясьѝтаблицейѝсмертности,ѝможноѝузнатьѝ вероятностьѝдожитьѝдоѝлюбогоѝинтересующегоѝнасѝвозраста,ѝт.е.ѝнаѝпротяженииѝопределенногоѝпериодаѝкаждыйѝчеловекѝлибоѝдоживет,ѝлибоѝнеѝ доживетѝдоѝегоѝокончания.ѝПоэтомуѝсуммаѝвероятностейѝумеретьѝиѝдожитьѝравнаѝ1,ѝт.е.ѝдостоверна.ѝТаблицаѝпоказывает,ѝсколькоѝлетѝвѝсреднемѝ предстоитѝпрожитьѝодномуѝчеловекуѝизѝчислаѝродившихсяѝилиѝизѝчислаѝ достигшихѝданногоѝвозраста.ѝ

Дляѝвычисленияѝсреднейѝпродолжительностиѝжизниѝстрахователяѝиспользуютѝприближенноеѝзначение,ѝопределяемоеѝкакѝотношениеѝполногоѝчислаѝпрожитыхѝлетѝдляѝлицѝвѝвозрастеѝхѝлетѝгруппыѝчисленностьюѝLxѝкѝчисленностиѝданнойѝвозрастнойѝгруппы:ѝ

w x

Lx 1

гдеѝwѝ—ѝпредельныйѝвозраст.ѝ

ѝ

Тарифныеѝставкиѝбываютѝединовременныеѝиѝгодичные.ѝЕдиновременнаяѝставкаѝпредполагаетѝуплатуѝвзносаѝвѝначалеѝсрокаѝстрахования.ѝЭкономическаяѝсторонаѝстраховыхѝоперацийѝоснованаѝнаѝтакѝ называемомѝпринципеѝнуля,ѝкоторыйѝпредполагаетѝравенствоѝвзаимныхѝ финансовыхѝ обязательствѝ страховщикаѝ иѝ страхователя.ѝ Приѝ единовременномѝвзносеѝстраховательѝсразуѝприѝзаключенииѝдоговораѝпогашаетѝвсеѝсвоиѝобязательстваѝпередѝстраховщиком,ѝиѝдоговорѝвѝ дальнейшемѝдействуетѝбезѝуплатыѝвзносов.ѝ

Годичнаяѝставкаѝпредполагаетѝпостепенноеѝпогашениеѝфинансовыхѝобязательствѝстрахователяѝпередѝстраховщиком.ѝВзносыѝуплачиваютсяѝразѝвѝгод.ѝНаѝпрактикеѝдляѝуплатыѝгодичногоѝвзносаѝпредоставляетсяѝещеѝиѝпомесячнаяѝрассрочка.ѝКакѝправило,ѝвначалеѝисчисляютсяѝединовременныеѝтарифныеѝставки,ѝаѝзатемѝгодичные.ѝ

Приѝстрахованииѝнаѝдожитиеѝ(страхованииѝопределеннойѝсуммыѝ денегѝнаѝопределенныйѝсрок)ѝвѝслучаеѝсмертиѝстрахователяѝвѝпериодѝ действияѝдоговораѝстраховаяѝсуммаѝнеѝвыплачивается,ѝиѝвзносыѝнеѝ возвращаются.ѝИспользуяѝтаблицуѝсмертности,ѝстраховщикѝдолженѝ определитьѝвеличинуѝстраховогоѝфонда,ѝнеобходимогоѝдляѝвыплатыѝ вѝ обусловленныеѝ срокиѝ страховыхѝ сумм.ѝ Дляѝ проведенияѝ расчетовѝ необходимоѝ ввестиѝ понятиеѝ дисконтирующегоѝ множителяѝ заѝ nѝ летѝ (дисконта),ѝкоторыйѝпоказывает,ѝсколькоѝнужноѝвнестиѝсредствѝсегодня,ѝчтобыѝчерезѝнесколькоѝлетѝиметьѝденежныйѝфондѝопределеннойѝвеличиныѝсѝучетомѝзаданнойѝнормыѝпроцента,ѝт.е.ѝопределитьѝ современнуюѝстоимостьѝэтогоѝфонда.ѝОнѝравен:ѝ

Vѝ=ѝ1ѝ/ѝ(1ѝ+ѝi)ѝn,ѝ

гдеѝiѝ—ѝнормаѝпроцента,ѝприносимогоѝзаѝгодѝединицейѝденежнойѝсуммы.ѝ

117

Стоимостьѝ страховыхѝ выплатѝ наѝ моментѝ заключенияѝ договораѝ страхованияѝ определяетсяѝ следующимѝ образом.ѝ Предположим,ѝ чтоѝ группаѝ страхователейѝ численностьюѝ Lxѝ вѝ возрастеѝ хѝ заключилаѝ соѝ страховщикомѝдоговорѝстрахованияѝнаѝдожитиеѝсрокомѝнаѝnѝлет.ѝДожившиеѝдоѝокончанияѝсрокаѝстрахованияѝдолжныѝполучитьѝстраховуюѝсуммуѝS.ѝ

Суммарнаяѝ выплата,ѝ которуюѝ предстоитѝ осуществитьѝ страховщикуѝпоѝокончанииѝсрокаѝдоговора,ѝравняетсяѝчислуѝдожившихѝдоѝ возрастаѝ хѝ +ѝ n,ѝ умноженномуѝ наѝ страховуюѝ суммуѝ SLx+n.ѝТекущаяѝ стоимостьѝэтойѝсуммыѝнаѝмоментѝзаключенияѝдоговораѝравна:ѝ

V n Lx n S, ѝ

гдеѝVѝ—ѝдисконтныйѝмножитель.ѝ

Вѝрасчетеѝнаѝкаждогоѝстрахователя,ѝзаключившегоѝдоговор,ѝэтоѝ составляетѝвеличинуѝединовременногоѝвзноса,ѝкоторыйѝдолженѝзаплатитьѝкаждыйѝстраховательѝприѝзаключенииѝдоговора:ѝ

P Lx n V n S. ѝ Lx

Аналогичныйѝрезультатѝможноѝполучить,ѝрассчитываяѝнакопленнуюѝстоимостьѝфонда,ѝсформированногоѝвзносамиѝстрахователейѝвѝ моментѝзаключенияѝдоговора.ѝЕслиѝкаждыйѝстраховательѝвѝвозрастеѝхѝ внесѝвзносѝР,ѝтоѝпервоначальнаяѝстоимостьѝэтогоѝфондаѝравнаѝPLx.ѝ Множительѝнаращенияѝзаѝnѝлетѝравенѝ(1+i)n.ѝКѝмоментуѝокончанияѝ договораѝ накопленнаяѝ стоимостьѝ этогоѝ фондаѝ составитѝ (1+i)nPLx.ѝ Приравниваяѝэтуѝвеличинуѝкѝсуммеѝстраховыхѝвыплат,ѝполучимѝаналогичнуюѝвеличинуѝдляѝнахожденияѝР.ѝ

Такимѝобразом,ѝчемѝмоложеѝзастрахованный,ѝтемѝдорожеѝемуѝобходитсяѝдоговорѝстрахованияѝнаѝдожитие,ѝтакѝкакѝтемѝбольшеѝчислоѝ доживающихѝдоѝокончанияѝсрока.ѝЧемѝдлиннееѝсрок,ѝтемѝнижеѝставки,ѝтакѝкакѝбольшеѝдоходаѝотѝпроцентов.ѝ

ВеличинуѝРѝназываютѝактуарнойѝтекущейѝстоимостьюѝстраховойѝ суммыѝилиѝожидаемойѝтекущейѝстоимостью.ѝ

Исчислимѝ единовременнуюѝ нетто-ставкуѝ Аѝ поѝ страхованиюѝ наѝ случайѝсмертиѝприѝтехѝжеѝусловиях.ѝЧислоѝумирающихѝнаѝкаждомѝгодуѝстрахования,ѝвзятоеѝизѝтаблицыѝсмертности,ѝумножаемѝнаѝсоответствующиеѝ дисконтирующиеѝ множителиѝ иѝ делимѝ наѝ числоѝ лиц,ѝ вступившихѝвѝстрахование:ѝ

n Ax dxV dx 1V 2Lx... dx n 1V n S. ѝ

Принципѝпостроенияѝединовременныхѝнетто-ставокѝпоѝстрахо- ваниюѝ пенсииѝ (илиѝ ренты)ѝ отличаетсяѝ отѝ рассмотренногоѝ выше.ѝ

118

Страхованиеѝ рентыѝ —ѝ этоѝ видѝ личногоѝ страхования,ѝ поѝ которомуѝ страховщикѝ обязуетсяѝ уплачиватьѝ застрахованномуѝ лицуѝ вѝ установленныеѝсрокиѝрегулярныйѝдоходѝ(аннуитетѝилиѝренту).ѝСтрахованиеѝ рентыѝбываетѝпожизненнымѝилиѝвременным,ѝнемедленнымѝилиѝотсроченным,ѝвѝзависимостиѝотѝтого,ѝвыплачиваетсяѝрегулярныйѝдоходѝ сразуѝпослеѝуплатыѝвзносовѝилиѝпоѝистеченииѝобусловленногоѝпериода.ѝ Аннуитетѝ отличаетсяѝ отѝ обычнойѝ финансовойѝ рентыѝ тем,ѝ чтоѝ выплачиваетсяѝтолькоѝприѝусловии,ѝчтоѝееѝполучательѝжив,ѝинымиѝ словами,ѝявляетсяѝусловнойѝрентой.ѝ

Наиболееѝраспространенныйѝвидѝстраховойѝрентыѝ—ѝобыкновен- наяѝпожизненнаяѝрента,ѝкотораяѝвыплачиваетсяѝвѝконцеѝкаждогоѝгодаѝдожитияѝвѝтечениеѝвсейѝжизниѝзастрахованного.ѝПосколькуѝплатежиѝосуществляютсяѝвѝконцеѝкаждогоѝвременногоѝпериода,ѝобыкновеннуюѝрентуѝназываютѝрентойѝпостнумерандо.ѝ

Выведемѝ соответствующиеѝ формулыѝ расчетаѝ ренты.ѝ Допустим,ѝ чтоѝсоѝстраховойѝорганизациейѝзаключилиѝдоговорѝLxѝчеловекѝвѝвозрастеѝхѝлет.ѝСтраховщикѝобязалсяѝвыплачиватьѝкаждомуѝзастрахованномуѝлицуѝвѝтечениеѝвсейѝегоѝжизниѝежегодноѝопределеннуюѝденежнуюѝсумму;ѝвыплатаѝбудетѝпроизводитьсяѝсѝпервогоѝгодаѝстрахованияѝ вѝначалеѝкаждогоѝгода.ѝЕеѝразмерѝсоставляетѝоднуѝусловнуюѝединицу.ѝ ТогдаѝперваяѝвыплатаѝLxѝбудетѝпроизведенаѝвсемѝлицамѝнемедленноѝ послеѝзаключенияѝдоговораѝстрахованияѝиѝсоставитѝLxѝусловныхѝединиц.ѝВоѝвторомѝгодуѝбудетѝвыплаченоѝLx+1ѝусловныхѝединицѝиѝт.д.ѝнаѝ весьѝ период,ѝ покаѝ будутѝ живыѝ страхователиѝ (илиѝ хотяѝ быѝ одинѝ изѝ них).ѝПоследняяѝвыплатаѝбудетѝпроизведенаѝвѝвозрастеѝw.ѝ

Текущаяѝстоимостьѝстраховыхѝвыплатѝнаѝмоментѝзаключенияѝдоговораѝсоставитѝсоответственно:ѝ

Суммарнаяѝтекущаяѝстоимостьѝвсехѝвыплатѝренты:ѝ

w x

VLx 1 V 2 Lx 1 ... V w x Lw V k Lx k . ѝ k 1

Дляѝтогоѝчтобыѝполучитьѝсовременнуюѝстоимостьѝвзаимныхѝобязательствѝстраховщикаѝиѝстрахователяѝпоѝотношениюѝкѝодномуѝлицу,ѝ т.е.ѝнайтиѝединовременнуюѝнетто-ставкуѝпоѝстрахованиюѝпожизнен- нойѝренты-пренумерандо,ѝт.е.ѝвыплачиваемойѝзастрахованномуѝсум- мыѝвѝначалеѝкаждогоѝстраховогоѝгода,ѝнадоѝэтуѝсуммуѝподелитьѝнаѝ числоѝлиц,ѝвступившихѝвѝстрахование:ѝ

ax VLx 1 V 2 Lx L1x ... V w x Lw , ѝ

гдеѝ ахѝ —ѝ единовременнаяѝ нетто-ставкаѝ поѝ страхованиюѝ пожизненнойѝ рентыѝ(пенсии)ѝ—ѝпренумерандо.ѝ

119

Таковаѝдолжнаѝбытьѝстоимостьѝренты,ѝилиѝвеличинаѝединовременногоѝ взноса,ѝ которыйѝ долженѝ заплатитьѝ каждыйѝ страховательѝ приѝзаключенииѝдоговора.ѝВзносыѝпоѝстраховойѝрентеѝсобираютсяѝ соѝвсех,ѝвыплатыѝжеѝпроизводятсяѝтолькоѝдожившимѝдоѝсроковѝееѝ выплаты.ѝПосколькуѝвзносыѝумершихѝперераспределяютсяѝвѝпользуѝ оставшихсяѝ вѝ живых,ѝ тоѝ приѝ равнойѝ величинеѝ выплатѝ стоимостьѝ страховойѝрентыѝвсегдаѝнижеѝстоимостиѝфинансовойѝренты.ѝ

Еслиѝрентаѝвыплачиваетсяѝнеѝпожизненно,ѝаѝвѝтечениеѝопределенногоѝчислаѝлетѝвѝначалеѝкаждогоѝстраховогоѝгодаѝ(пренумерандо),ѝ формулаѝприобретаетѝвид:ѝ

ax Lx VLx 1 V 2 Lx 2 ... V n 1Lx n 1 , ѝ Lx

аѝеслиѝвѝконцеѝстраховогоѝгодаѝ(постнумерандо):ѝ

Показатели,ѝнеобходимыеѝдляѝвышеуказанныхѝрасчетов,ѝимеютсяѝвѝтаблицахѝсмертностиѝиѝдисконтирующихѝмножителей.ѝОднако,ѝ посколькуѝнаѝпрактикеѝприходитсяѝисчислятьѝтарифныеѝставкиѝдляѝ многихѝвозрастовѝиѝнаѝнесколькоѝразличныхѝсроков,ѝпришлосьѝбыѝ складывать,ѝперемножатьѝиѝделитьѝоченьѝдлинныеѝрядыѝкрупныхѝчисел,ѝ чтоѝ весьмаѝ трудоемко.ѝ Сѝ цельюѝ упрощенияѝ расчетаѝ тарифовѝ применяютсяѝ специальныеѝ техническиеѝ показателиѝ —ѝ коммутаци- онныеѝчислаѝ—ѝчисленныеѝвыражения,ѝприменяемыеѝдляѝвыполне- нияѝрасчетов,ѝсвязанныхѝсѝличнымѝстрахованием.ѝИхѝнельзяѝинтерпретироватьѝсодержательноѝиѝнеобходимоѝвосприниматьѝкакѝчистоѝ техническиеѝиѝрасчетныеѝвспомогательныеѝвеличины.ѝ

ВѝданныхѝвеличинахѝиспользуютсяѝпоказателиѝдоживающихѝLxѝиѝ численностьѝумершихѝdx.ѝДляѝрасчетаѝтарифовѝиѝрезервовѝпоѝиндивидуальномуѝ страхованиюѝ иѝ пенсийѝ необходимыѝ коммутационныеѝ функцииѝпервойѝгруппыѝ(табл.ѝ5.2).ѝКоммутационныеѝфункцииѝобозначаютсяѝDxѝиѝNx:ѝ

Dx LxV x ;

Nx w D j , ѝ j x

гдеѝwѝ—ѝпредельныйѝвозрастѝизѝтаблицыѝсмертности.ѝ

Суммаѝ коммутационныхѝ чиселѝ заѝ возрастнойѝ интервалѝ отѝ хѝ доѝ

хѝ+ѝn:ѝ

x j

D j Nx Nx j 1 .ѝ j x

120

ѝ

ЕслиѝприѝрожденииѝгруппыѝдетейѝчисленностьюѝLoѝзаключаетсяѝ договорѝстрахованияѝсѝусловиемѝпожизненнойѝвыплатыѝрентыѝразмеромѝвѝ1ѝвѝначалеѝкаждогоѝгодаѝначинаяѝсѝвозрастаѝx,ѝтоѝфункцияѝNxѝ даетѝтекущуюѝстоимостьѝстраховыхѝвыплатѝилиѝсуммарнуюѝвеличинуѝ единовременногоѝстраховогоѝвзноса.ѝ

Кѝкоммутационнымѝфункциямѝвторойѝгруппыѝотносятсяѝфунк-

цииѝCx,ѝМхѝиѝRx.ѝ

ВеличинаѝСхѝ представляетѝсобойѝдисконтированноеѝчислоѝумершихѝвѝвозрастеѝотѝхѝдоѝхѝ+ѝ1:ѝ

Схѝ=ѝdxѝ•ѝVѝx+1,ѝ

гдеѝdxѝ—ѝчислоѝумершихѝвѝвозрастеѝотѝхѝдоѝхѝ+ѝ1,ѝопределяемоеѝпоѝтаблицеѝѝ

ѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝѝсмертности;ѝ Vѝ—ѝдисконтныйѝмножительѝпоѝпринятойѝпроцентнойѝставке.ѝ

Изѝприведенногоѝопределенияѝследует:ѝ

Сx VDx Dx 1 .ѝ

Еслиѝхѝ=ѝw,ѝто:ѝ

Сx VDx Dx 1. ѝ

СуммуѝчиселѝСхѝобозначаютѝМх:ѝ

w

M x C j ; M x VNx Nx 1. ѝ

j x

121

КоммутационнаяѝфункцияѝRxѝпредставляетѝсобойѝсуммуѝчиселѝМх:ѝ

w

Rx Mj .ѝ

j x

Коммутационноеѝ числоѝ Dxѝ показываетѝ современнуюѝ величинуѝ суммыѝLx,ѝуплачиваемуюѝчерезѝхѝлет,ѝNxѝ—ѝсовременнаяѝвеличинаѝпо- следовательныхѝплатежейѝLx,ѝLx+1,ѝLwѝрублей.ѝ

Такимѝобразом,ѝформулаѝрасчетаѝрентыѝприметѝвид:ѝ

Стоимостьѝобыкновеннойѝсрочнойѝренты:ѝ

Стоимостьѝприведеннойѝсрочнойѝренты:ѝ

Отложеннаяѝпожизненнаяѝрентаѝпостнумерандоѝ(срокѝдействияѝ которойѝзапаздываетѝотносительноѝ моментаѝ заключенияѝ контрактаѝ наѝпериодѝотсрочки):ѝ

Отложеннаяѝпожизненнаяѝрентаѝпренумерандо:ѝ

Кромеѝтого,ѝприѝактуарныхѝрасчетахѝисчисляютсяѝследующиеѝпоказатели:ѝ

средняяѝстраховаяѝсуммаѝпоѝодномуѝдоговоруѝстрахования;ѝ

средняяѝстраховаяѝвыплатаѝпоѝодномуѝдоговоруѝстрахования;ѝ

вероятностьѝнаступленияѝстраховогоѝслучаяѝпоѝодномуѝдоговоруѝстрахования;ѝ

количествоѝзаключенныхѝдоговоровѝзаѝопределенныйѝпериодѝ (например,ѝодинѝгод);ѝ

количествоѝпроизошедшихѝстраховыхѝслучаевѝвѝдоговорах.ѝ Расчетныеѝ показателиѝ позволяютѝ определитьѝ иѝ проанализиро-

ватьѝтарифныеѝставкиѝ(брутто-ставку,ѝнетто-ставку),ѝрисковыеѝнад- бавки,ѝпоказательѝубыточностиѝиѝдругиеѝпоказателиѝфункционированияѝстраховойѝорганизацииѝкакѝпоѝотдельнымѝотраслям,ѝподотраслямѝиѝвидамѝееѝдеятельности,ѝтакѝиѝвѝцелом.ѝ

122