доп.материалы.Neopr_Integr_Jun_08_2011

Таблица производных

µx¶

(x®)0 = ® x®¡1;

(px)0 = 2px;

= ¡x2 ;

1

1

0

1

(ax)0 = ax ln a;

(ex)0 = ex;

(loga x)0 =

1

;

(ln x)0

=

1

;

x ln a

x

(sin x)0 = cos x;

(cos x)0

= ¡ sin x;

(tg x)0

1

(ctg x)0

1

=

;

= ¡

;

cos2 x

sin2 x

1

1

(arcsin x)0 =

p

;

(arccos x)0

= ¡

p

;

1 ¡ x2

1 ¡ x2

(arctg x)0

1

(arcctg x)0

1

=

;

= ¡

;

1 + x2

1 + x2

ch x :=

ex + e¡x

;

sh x :=

ex ¡ e¡x

;

ex = ch x + sh x;

2

2

ch2 x

¡

sh2 x = 1;

sh2 x =

ch 2x ¡ 1

;

ch2 x =

ch 2x + 1

;

2

2

2sh xch x = sh 2x;

1

¡

th2 x =

1

;

1

¡

cth2 x =

¡1

;

ch2 x

sh2 x

Табличные интегралы

Z x® dx = ® + 1 + C (® 6= ¡1);

Z

x dx = ln jxj + C

(x 6= 0);

x®+1

1

Z

½

¡

Z

¡

¯

¡

¯

1

arctg x + C;

1

1

¯

1 + x

¯

1 + x2

dx =

arcctg x + C;

1

x2

dx =

2

ln

¯

1

x

¯

+ C;

¯

¯

Z

§

1

¯

¯

x

dx = §

¯

a2 § x2

¯

a2 x2

2

ln

+ C;

p

¯

¡

§

¯

dx

arcsin x + C;

dx

¯

¯

Z

p1

x2 = ½ ¡ arccos x + C;

Z

px2

1

= ln

x +

x2

§ 1 + C;

Z

Z

¯

¯

pa2

¡ x2

= arcsin a + C

(a > 0);

px2

§ a2 = ln ¯x + px2 § a2¯ + C;

dx

x

dx

¯

¯

Z

§

p

¯

¯

p

x

dx = § a2 § x2 + C;

a2

x2

Z pa2 ¡ x2 dx = 2 nxpa2

¡ x2 + a2 arcsin ao + C

(a > 0);

1

x

Z px2 § a2 dx = 2 px2 § a2

+ 2

ln ¯x + px2 § a2¯ + C

(a > 0);

x

a2

¯

¯

¯

¯

Z ex dx = ex + C;

Z ax dx =

ax

+ C (a > 0; a 6= 1);

ln a

Z

sin x dx = ¡ cos x + C;

Z

cos x dx = sin x + C;

Z

1

dx = ¡ctg x + C;

Z

1

dx = tg x + C;

sin2 x

cos2 x

Z sh x dx = ch x + C;

Z ch x dx = sh x + C;

I

=

kn ¡ k ¡ 1

I

n¡1

+

x

;

n

k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1

kn ¡ k

J

=

kn ¡ k ¡ 1

J

n¡1

+

x

:

n

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

kn ¡ k

Пусть n натуральное число и

Cn := Z

Sn := Z

sinn x dx;

cosn x dx:

(2)

S

n

=

n ¡ 1

S

n¡2

¡

cos x sinn¡1 x

;

C

n

=

n ¡ 1

C

n¡2

+

sin x cosn¡1 x

:

(3)

n

n

n

n

In = In¡1 ¡ A;

(4)

где

A = Z

xk

dx:

(1 + xk)n

Выразим A через In¡1; для этого преобразуем A :

Z

Z

A = x dv(x) = xv(x) ¡ v(x) dx =

=

x

¡ Z

dx

=

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

x

1

=

+

In¡1

:

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(n ¡ 1)

Принимая во внимание (4), приходим к соотношению

x

1

In = In¡1 ¡

¡

In¡1;

k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1

k(n ¡ 1)

из которого следует искомая формула

I

=

kn ¡ k ¡ 1

I

n¡1

+

x

:

n

k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1

kn ¡ k

Jn = Jn¡1 + B;

(6)

где

B = Z

xk

dx:

(1 ¡ xk)n

Выразим B через Jn¡1: Для этого преобразуем B :

B = Z

x

xk¡1 dx

= Z

x dV (x);

(7)

где

(1 ¡ xk)n

V (x) =

xk¡1 dx

=

1

dxk

=

¡1

d(1 xk)

=

1

:

(1 ¡ xk)n

(1 ¡ xk)n

(1 ¡¡xk)n

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

Z

k Z

k Z

Отсюда с помощью (7) получаем

B = Z x dV (x) = xV (x) ¡ Z V (x) dx =

=

x

¡ Z

dx

=

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

=

x

¡

1

Jn¡1

:

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)

Принимая во внимание (6), приходим к соотношению

x

1

Jn = Jn¡1 +

¡

Jn¡1;

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

k(n ¡ 1)

из которого следует искомая формула

J

=

kn ¡ k ¡ 1

J

n¡1

+

x

:

n

k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1

kn ¡ k