Схема нагрузки для заданных схем
αl/2 P |
q 2 |
|
q |
||
1 |
αl
l
Рис. 13. Окончание
Методические указания к решению задачи № 2
Трехшарнирная арка (рама) представляет собой статически определимую систему, состоящую из двух полуарок (полурам), соединенных между собой и с опорами шарнирами. На рис. 14 представлена схема арки.
l – пролет арки, f – стрела подъема. Уравнение оси арки, угол наклона ϕ касательной к оси арки и тригонометрические функции sinϕ, cosϕ можно вычислить по следующим формулам:
1) ось арки – квадратная парабола:
yK = |
|
4 f |
(l −aK )aK ; |
|
tgϕ = |
dy |
= |
4 f |
(l − 2aK ); |
|
|
|
|
dx |
l 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
l 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
cos ϕ = |
; |
sin ϕ = cos ϕ tgϕ. |
(2) |
|||||||
|
1+ tg2ϕ |
||||||||||
2) ось арки – окружность:
y |
|
= |
R |
2 |
l |
− a |
|
2 |
|
|
|
− |
2 |
|
− R + f ; |
||||
|
K |
|
|
|
|
|
K |
|
|
sin ϕ = l − 2aK ; 2R
C
Ó Ê
|
|
ϕ |
K |
|
|
|
|
f |
|
|
K |
|
|
|
A |
y |
|
|
|
H |
|
H |
B |
|
|
aK |
|
bK |
|
RA |
|
|
l |
RB |
|
|
|
Рис. 14. Расчетная схема арки
17
R = |
f |
+ |
l |
2 |
; |
|
|
|
2 |
8 f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
cosϕ = |
yK + R − f |
. |
(3) |
|||||
|
||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
Вертикальные реакции RA, RВ определяются как в простой двухопорной балке из уравнений моментов сил относительно правой и
Õ левой опоры. Горизонтальные реак-
ции (распоры) определяются из уравнений
∑МCправ = 0 и ∑МCлев = 0 .
При составлении уравнений ∑МCправ = 0 или ∑МCлев = 0 введем обозна-
чения: МС0 − сумма моментов сил в простой балке. Тогда из уравнения момен-
тов сил в шарнире арки получим МС0 − Нf = 0 . |
|
|||
H = |
M |
0 |
. |
|
|
С |
(4) |
||
f |
|
|||
|
|
|
|
|
Распор равен изгибающему моменту простой балки, разделенному на стрелу подъема.
Для определения усилий M, Q, N в поперечных сечениях арок или рам при действии на них вертикальной нагрузки используются следующие формулы:
Изгибающий момент в некотором сечении К:
M K = M K0 − H уK , |
(5) |
где M K0 − изгибающий момент как в простой балке длиной аК. |
|
Поперечная сила в некотором сечении К: |
|
QK = QK0 cos ϕK − H sin ϕK , |
(6) |
где Q0 − поперечная сила как в простой балке длиной аК. |
|
к |
|
Продольная сила в сечении К: |
|
NK = −QK0 sin ϕK − H cos ϕK . |
(7) |
Для рамы значения y, sinϕ, cosϕ на каждом участке определяются с помощью геометрических построений.
Пример решения задачи № 2
Схема арки представлена на рис. 15.
l = 24 м, f / l = 0,4, α = 0,7, q = 3 кН, Р = 12 кН, yK = 4l 2f (l −aK )aK , ось арки
очерчена по параболе.
Определим вертикальные опорные реакции в арке как в простой двухопорной балке, составив уравнения статики:
∑M B = 0; RA l − P(l −8,4)− q 7,2 7,2 / 2 = 0.
Из этого уравнения определим реакцию в опоре А: RА = 11,04 кН.
∑M A = 0; − RB l + P 8,4 + q 7,2(16,8 + 7,2 / 2)= 0.
Это уравнение позволяет определить реакцию опоры В: RВ = 22,56 кН.
18
Проверка. ∑y = 0; RA − P − q 7,2 + RB = 0 дает следующий результат: 11,04 −12 −21,6 + 22,56 = 0, значит, значения реакций опор определены верно.
al/2 = 8,4 ì |
q = 3 êÍ/ì |
Ð = 12 êÍ |
|
al=16,8 ì |
7,2 ì |
N1 |
C |
1 |
|
f
1
Q1
f1
y 1
RA
ÀHA
a 1 = 6 ì
l/2 = 12 ì
f
RB
HÂ Â
l = 24 ì
Рис. 15. Расчетная схема заданной арки
Рассчитаем горизонтальные реакции (распор) из уравнения моментов сил справа или слева от шарнира С (НА = НВ = Н).
∑ |
лев |
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
МC |
= 0; RA |
|
|
|
|
− P |
|
|
−8,4 |
− H A f = 0, |
|
H A |
= 9,3 кН. |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∑ |
пр |
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
7,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
МC |
= 0; RВ |
|
|
|
|
|
−q 7,2 |
|
− |
|
|
|
|
− H B f |
= 0, |
|
H B = 9,3 кН. |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим M, Q, N в заданном сечении 1–1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Величина изгибающего момента: |
|
|
|
|
|
4 f |
|
|||||||||||||||||||
M1 = RA a1 − H y1 |
|
= −0,72 кН м, где |
y1 = |
|
(l −a1 )a1 = 7,2 м. |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
Величина поперечной силы в сечении 1–1: |
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Q1 = RA cos ϕ1 − H sin ϕ1 = 2,83 кН, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
где cos ϕ = |
1 |
|
|
|
|
|
= 0,78, |
tgϕ1 |
= |
4 |
f |
(l − 2a1 )= 0,8; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
1 +tg |
2 |
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin ϕ1 = cosϕ1 tgϕ1 = 0,625.
Величина продольной силы в сечении 1–1:
N1 = −RA sin ϕ1 − H cos ϕ1 = −14,14 кН.
19
При построении линий влияния для M, Q, N в сечении 1–1 от заданной на- |
|||||||||||||
грузки требуется убрать с арки все внешние нагрузки и нагрузить арку подвиж- |
|||||||||||||
ной единичной силой Р = 1 (рис. 16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8,4 |
|
|
|
7,2 ì |
Для построения л. в. момента |
||||||||
Ð = 12 êÍ |
|
q = 3 êÍ/ì |
|||||||||||
|
|
М1 |
используем |
выражение |
|||||||||
|
|
|
C |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
− H y1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M1 = M1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f |
В этом случае требуется по- |
||||||||
1 |
|
|
|
|
строить две линии влияния – от |
||||||||
|
|
|
|
момента |
как |
в |
простой балке |
||||||
|
|
|
b1 =18 ì |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
(M10 )и л. в. распора, умноженно- |
||||||||
y |
|
|
|
|
|||||||||
a 1 |
= 6 ì |
|
|
|
|||||||||
l/2 = 12 ì |
|
|
|
го на ординату у1 (рис. 16). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ордината л. в. |
момента M10 |
в |
||||||
|
|
|
|
l = 24 ì |
сечении |
балки |
|
определяется |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4,5 |
|
|
|
ëâ Ì 0 |
формулой (a1 b1)/l (см. рис. 4). |
|
|||||||
|
|
|
1,8 |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
Значение |
ординаты |
составит |
|||||||
|
ó1 =3,9 |
3 |
|
|
|||||||||
|
ω1 |
|
(6 18)/24 = 4,5. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
M10 |
|
||||||
|
|
4,5 |
2,7 |
ëâ Í ó1 |
Обе ветки |
момента |
на |
||||||
|
|
|
опорах арки имеют нулевые ор- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2,25 |
ó2 =3,15 |
|
ω2 |
|
динаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,25 |
|
|
|
|
Под шарниром С определяем |
||||||||
|
|
|
0 |
ординату |
распора, умноженного |
||||||||
|
|
|
|
ëâ Ì1 =Ì1 -H ó1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
на у1: |
|
l |
|
|
|
24 7,2 = 4,5. |
|
|
|
|
1,5 |
|
|
H y |
= |
y |
= |
4 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
4 f |
1 |
|
9,6 |
|
|
|||
Рис. 16. Построение л. в. изгибающего момента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в сечении арки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения численного значения изгибающего момента в сечении 1−1 воспользуемся формулами (1) и (2). Отметим ординаты на л. в., лежащие под внешними нагрузками, определим их значения из пропорций в прямоугольном треугольнике.
М1 = Р · у1 + q · ω1 − (Р · у2 + q · ω2) = 12 · 3,9 + 3 · ½(1,8 · 7,2) − − (12 · 3,15 + 3 · ½(2,7 · 7,2)) = −0,72 кН м.
Значение изгибающего момента в сечении 1−1, рассчитанного с помощью линий влияния полностью совпадает с аналитическим расчетом.
20
Для построения линии влияния поперечной силы Q1 используем выражение Q1 =Q10 cosϕ1 −H sin ϕ1. В этом случае требуется построить две линии влияния – от поперечной силы как в простой балке, умноженной на косинус угла наклона касательной к сечению арки (Q10 cosϕ1 ) и линию влияния распора, умноженного на синус угла наклона касательной (рис. 17).
y 1
8,4 |
7,2 ì |
|
q = 3 êÍ/ì |
||
Ð = 12 êÍ |
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
|
a |
1 = 6 ì |
b1 =18 ì |
|
Ординаты л. в. поперечной силы в сечении простой балки см. на рис. 4.
Ордината левой ветки л. в. Q в сечении арки − al1 cosϕ1 =
= − 246 0,78 = −0,195.
l/2 = 12 ì |
|
|
|
|
|
Ордината правой ветки ли- |
||||||
|
|
|
l = 24 ì |
|
нии влияния поперечной |
силы |
||||||
|
|
|
|
b1 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
cosϕ1 = |
0,78 = 0,585. |
|
|||||
0,585 |
|
|
ëâ Q cosϕ |
l |
24 |
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ó3 =0,507 |
|
0,234 |
|
|
|
Ордината л. в. распора, ум- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ноженного |
|
|
на |
sinϕ1: |
||||
|
0,39 |
|
ω3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
0,39 |
ëâ Í sinϕ |
|
sin ϕ = |
|
0,625 = 0,39. |
|||||
|
0,195 |
|
4 f |
1 |
4 9,6 |
|
|
|||||
|
|
0,234 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Численное |
значение |
попе- |
||||
|
ó4 =0,2734 |
|
ω4 |
|
|
|
||||||
0,198 |
|
|
речной силы: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,387 |
|
ëâ Q1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=Q1 cosϕ1 -H sinϕ1 |
Q1 |
= Р · у3 + q · ω3 − (Р · у4 + |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ q · ω4) = = 12 · 0,507 + |
|
||||||
|
|
|
|
|
+ 3 · ½(0,234 · 7,2) − |
|
||||||
|
0,393 |
|
|
|
– (12 · 0,2734 + |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ 3 · ½(0,243 · 7,2)) = 2,8 кН. |
|||||||
Рис. 17. Построение л. в. поперечной силы в сечении арки
Расхождение в значении поперечной силы, рассчитанной по линиям влияния, составляет примерно 1 % от значения, полученного аналитическим расчетом. Такое отклонение допускается.
21
Для построения линии влияния продольной силы N1 используем выраже- |
|||||||||||
ние N1 = −Q10 sin ϕ1 − H cos ϕ1. В этом случае требуется построить две л. в. – от |
|||||||||||
поперечной силы как в простой балке, умноженной на синус угла наклона каса- |
|||||||||||
тельной к сечению арки (Q10 sin ϕ1 ) и л. в. распора, умноженного на косинус уг- |
|||||||||||
ла наклона касательной (рис. 18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8,4 |
Ð = 12 êÍ |
|
7,2 ì |
|
|
Ординаты |
л. в. |
попереч- |
|||
|
|
q = 3 êÍ/ì |
ной |
силы |
в |
сечении |
простой |
||||
|
|
C |
|
||||||||
1 |
|
|
балки см. рис. 4. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f |
|
|
Ордината левой ветки ли- |
|||||
1 |
|
|
|
нии влияния N в сечении арки |
|||||||
|
|
|
a1 sin ϕ = |
6 0,625 = 0,156. |
|||||||
1 |
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
l |
|
1 |
24 |
|
|
|
|
a 1 |
= 6 ì |
b1 =18 ì |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ордината |
правой |
ветки |
|||||||
l/2 = 12 ì |
|
|
|
|
|||||||
|
|
линии влияния продольной си- |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
l = 24 ì |
|
лы |
|
|
|
|
|
|
||
0,156 |
0,187 |
0 |
− |
b1 |
sin ϕ1 |
= − |
18 |
0,625 |
= −0,468. |
||
ëâ -Q1 sinϕ1 |
l |
24 |
|||||||||
|
|
ω5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,312 |
|
|
Ордината л. в. распора, |
|||||||
0,468 |
ó5 =0,406 |
|
ëâ -Í cosϕ1 |
умноженного на cosϕ1: |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
0,293 |
− |
l |
cosϕ = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,244 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ó6 =0,34 |
ω6 |
|
|
4 f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
= |
24 0,78 = 0,4875. |
|
|
||||
|
0,487 |
ëâ Q1 =-(Q1 sinϕ1 +H cosϕ1 ) |
|
4 9,6 |
|
|
|
|
|
||
0,088 |
|
|
|
N1 = Р · у5 + q · ω5 + Р · у6 + |
|||||||
|
|
|
|
+ q · ω6 = 12 · (−0,406) + |
|
||||||
0,712 |
|
|
|
+ 3 · ½(−0,187 · 7,2) + |
|
|
|||||
|
|
0,799 |
|
+ 12 · (−0,341) + |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 18. Построение л. в. продольной силы |
+ 3 · ½(−0,293 · 7,2) = |
|
|
||||||||
= −14,148 кН. |
|
|
|
|
|||||||
|
в сечении арки |
|
|
|
|
|
|||||
Значение продольной силы, полученное аналитически, составляет –14,14 кН. |
|||||||||||
ЗАДАЧА № 3. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ
Задание. Для плоской статически определимой фермы, выбранной по шифру из табл. 4 с размерами и нагрузкой по рис. 19, требуется:
1) определить усилия в стержнях заданной панели, включая правую и левую стойки, применяя способ сечений.
22