Менеджмент.Финансовая математика

Выражение (2.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а мно­ житель (1 +я/) — множителем наращения простых процентов.

График роста по простым процентам представлен на рис. 2.1. Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в к

раз одинаковым образом влияет на множитель наращения. Последний увеличится в (1 + kni) / (1 + ni) раз.

П Р И М Е Р 2 . 1 . Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 70 0 ты с.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (/ = 0 ,2 ):

/ = 70 0 х 4 х 0 ,2 = 560 тыс. р уб .;

S = 70 0 + 560 = 1260 тыс. руб .

Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в

(1 + 2 х 4 х 0 ,2 ) / (1 + 4 х 0,2) = 1,4 4 4 раза.

Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Пос­ кольку процентная ставка, как правило, устанавливается в рас­ чете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо опреде­ лить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай

— с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссу­ ды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок п в ви­ де дроби

21

где t — число дней ссуды, К — число дней в году, или времен­ ная база начисления процентов (time basis).

Если К = 360, то получают обыкновенные или коммерческие про­ центы (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные

проценты (exact interest) .

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается рав­ ным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды опреде­ ляется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по табл. 1 Приложения.

Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.

1.Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вари­ ант, естественно, дает самые точные результаты. Данный спо­ соб применяется центральными банками многих стран и круп­ ными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

2.Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker’s Rule), распро­ странен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейца­ рии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой став­ кой. Например, если t — 364, то п = 364/360 = 1,01111. Мно­ житель наращения за год при условии, что / = 20% , составит 1,20222.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в

22

практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не приме­ няется.

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но разумеется, не всегда, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, кото­ рое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным чис­ лом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближен­ ным.

платить должник в конце срока при начислении простых процен ­ тов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное — 258, приближенное — 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

S = 1 000 000(1 + - Щ - 0 ,1 8 ) = 1 12 7 233 руб.

365

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):

S = 1 000 000(1 + - Щ - 0 ,1 8 ) = 1 129 000 руб.

ооО

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу­

ды (360/360):

25*5

S = 1 000 000(1 + -§§5-0 , 18 ) = 1 12 7 500 руб.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календар­ ных года и есть необходимость в делении суммы процентов ме­ жду ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

/ = /, + /2 = Pnxi + Pn2i,

здесь п, и п2 — части срока ссуды, приходящиеся на каждый ка­ лендарный год.

23

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда пред­ усматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

где /, — ставка простых процентов в периоде /, nt — продолжи­ тельность периода с постоянной ставкой, п = 2 пг

П Р И М Е Р 2 .3 . Контракт предусматривает следующий порядок на­ числения процентов: первый год — 16 % , в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 % . Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

1 + 2 л ,/ , = 1 + 1 X 0 ,16 + 0,5 X 0 ,1 7 + 0,5 X 0 ,18 +

+ 0,5 х 0 ,19 = 1,4 3 .

Начисление процентов при изменении сумм депозита во време­ ни. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на кото­ рую начисляются проценты, изменяет свою величину во време­ ни (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае

где Rj — остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, п. — срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следу­ ющий способ, основанный на преобразовании (2.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины ос­ татка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процен­ тах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

24

Как и прежде К означает число дней в году, a tj — срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину l l R j t j / m называют процентным числом (interest number), а делитель — процентным (или постоянным) делителем {interest divisor).

П Р И М Е Р 2 .4 . Движение средств на счете характеризуется следую­ щими данными: 05.02 поступило 12 млн руб ., 10 .0 7 снято 4 млн руб. и 20 .10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18 % годовых.

Реинвестирование по простым ставкам. В практике при инве­ стировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибега­ ют к неоднократному последовательному повторению нараще­ ния по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или пере­ менной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

где /, — размер ставок, по которым производится реинвестиро­ вание.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменя­ ются во времени, то вместо (2.6) имеем

где т — количество повторений реинвестирования.

25

ПРИМЕР 2.5. 100 млн руб. положены 1-го марта на месячный де­ позит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если опера­ ция повторяется 3 раза?

Если начислять точные проценты (365/365), то

5 - ,0° " + + =

= 105,013 млн руб.

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинвестированиии дает

30

S = 100(1 + 360 0,2)3 = 105,084 млн руб.

§ 2.2. Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции. Необходимым условием фи­ нансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансиро­ ванности удобно пояснить на графике (см. рис. 2.2). Выдана ссуда на срок Т в размере Р. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два плате­ жа /?, и R2, а в конце срока выплачивается остаток задолженно­ сти в сумме Л3 (для нас здесь не имеет значения, какая часть этой суммы идет на выплату процентов, а какая — на погаше­ ние долга). Очевидно, что на интервале t{ задолженность воз­ растает (в силу начисления процентов) до величины Pt. В кон­ це этого периода выплачивается в счет погашения задолженно­ сти сумма Rr Долг уменьшается до К{ и т.д. Заканчивается опе­ рация получением кредитором в окончательный расчет суммы Ry В этот момент задолженность должна быть равна нулю. На­ зовем такой график контуром операции (рис. 2.2, б).

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур. Иначе говоря, последняя выплата полностью покрыва­ ет остаток задолженности. В этом случае совокупность плате­ жей точно соответствует условиям сделки. Контур операции бу­ дет применяться ниже в методических целях при анализе ряда финансовых операций.

Частичные платежи. Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом

26

Рис. 2 .2

случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый, который применяется в основном в операциях со сро­ ком более года, называют актуарным методом (.Actuarial method). Второй метод назван правилом торговца (Merchant’s Rule). Он используется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то при начислении про­ центов в обоих методах используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

Актуарный метод предполагает последовательное начисле­ ние процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму на­ численных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Поступление при­ плюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанно­ го на рис. 2.2, получим следующие расчетные формулы для оп­ ределения остатка задолженности (KJ)

Задолженность на конец срока должна быть полностью по­ гашена. Таким образом,

tf2(1 + t3i) - Л3 = 0.

27

тор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляют­ ся по ставке 20% годовых. Частичные поступления характеризу­ ются следующими данными (в тыс. руб .):

Решение представим в следующей последовательной записи:

(Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов(750), то она присоединяется к следующему поступлению.)

Контур данной операции представлен на рис. 2.3.

Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного по­ гашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для го­

28

дового периода задолженности. В конце года из суммы задол­ женности вычитается наращенная сумма накопленных частич­ ных платежей. Остаток погашается в следующем году.

Алгоритм можно записать следующим образом:

где Q — остаток долга на конец срока или года, S — наращен­ ная сумма долга, К — наращенная сумма платежей, R. — сумма частичного платежа, п — общий срок ссуды, tj — интервал вре­ мени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой операции при выплате двух промежуточных платежей охватывает два параллельных контура (см. рис. 2.4). Первый характеризует наращение задолженности, второй — наращение на суммы поступлений.

Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Ос­ таток задолженности по первому методу немного выше, чем по второму.

П Р И М Е Р 2 . 7 . Обязательство (1 ,5 млн р у б .), датированное 10.08 .1999 г ., должно быть погашено 10.06.2000 г. Ссуда выдана под 20% годовых. В счет погашения долга 10 .12 .19 9 9 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно (2.9) составит

О = 1 ,5 (1 + — -0 ,2 ) - 0 ,8 (1 + ^ j 0 ,2 ) = 0 ,8 7 млн руб.

В свою очередь, при применении актуарного метода получим

О = [(1 .5 + • ~ 0 ,2 ) - 0 ,8](1 + - £ г 0 ,2) = 0,88 млн руб.

29

§2.3. Наращение процентов

впотребительском кредите

Впотребительском кредите проценты, как правило, начис­ ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основ­ ному долгу уже в момент открытия кредита (flat rate of interest, add-on interest). Условие, прямо скажем, весьма жесткое для должника.

Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Из сказанного следует, что наращенная сумма долга равна

S= Р{ 1 + /н),

а величина разового погасительного платежа составит

где п — срок кредита в годах, т — число платежей в году.

В связи с тем что проценты здесь начисляются на первона­ чальную сумму долга, а его фактическая величина систематиче­ ски уменьшается во времени, действительная стоимость креди­ та заметно превышает договорную процентную ставку. Подроб­ нее об этом см. гл. 9, в которой, кроме того, обсуждается про­ блема разбиения платежей на проценты и суммы погашения ос­ новного долга. Необходимость в таком разбиении возникает при досрочном погашении задолженности.

П Р И М Е Р 2 .8 . Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб . от­ крыт на три года, процентная ставка — 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами

S = 1(1 + 3 х 0 ,15 ) = 1,4 5 млн руб.

Ежемесячные платежи:

Я = з ^ Г = 4 0 ,2 78 тыс. руб .

30