Менеджмент.Финансовая математика

П Р И М Е Р 9 .5 . Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами пост­ нумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10% годо­ вых.

Размер погашения основного долга 1000 : 5 = 200 тыс. руб. в

Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расхо­ дов по займу, но и соотношения процентов и сумм погашения ос­ новного долга.

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, как мы только что убедились, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежела­ тельным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга по­ стоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процен­ тов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

Y = D^xg + Rt = const.

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более ред­ ким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана пога­ шения — определение размера срочной уплаты. Далее получен­

191

ная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток

задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к со­ временной величине этой ренты, находим

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового конт­ ракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По оп­ ределению

d{ = Y — Dg.

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во вре­ мени:

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд </,, d{(1 + g), ..., d{(1 + *)"-«.

По этим данным легко определить сумму погашенной задол­

где stg — коэффициент наращения постоянной ренты постну­ мерандо.

П Р И М Е Р 9 .6 . Условия погашения займа те же, что и в примере 9 .5 . Однако погашение производится равными срочными уплата­ ми, т.е . рентой постнумерандо с параметрами: Y (неизвестная ве­

192

Далее определим

dx = 2 6 3 ,79 7 - 1000 х 0 ,1 = 16 3 ,79 7 тыс. руб.

и остаток долга после первого погашения

D , = 1000 - 16 3 ,79 7 = 836,203 тыс. руб.

План погашения долга представлен в таблице.

Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы пога­ шения основного долга систематически увеличиваются.

Продолжим пример. Допустим, необходимо найти сумму пога­ шенного долга на конец третьего года погашения при условии, что план погашения не разработан. Для решения воспользуемся формулой (9 .10 ). Находим s 3;10 = 3 ,3 1 , сумма первого платежа

определена выше — d , = 16 3 ,79 4 , таким образом,

W3 = 16 3 ,79 4 х 3 ,31 = 542,16 9 тыс. руб.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка за­ дачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погаше­ ния долга и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Эта проблема подробно обсуждалась в § 5.4 (см. формулы (5.28)— (5.37)), поэтому не будем останавливаться на ней. Ограничим­ ся лишь одной иллюстрацией. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим (5.29), где символ R за­ менен на Y, а / — на g:

193

Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Ра­ счетное значение п в общем случае оказывается дробным.

П Р И М Е Р 9 .7 . Долг равен 1000 тыс. руб. и выдан под 10% годо­ вых. Для его погашения предполагается выделять сумму порядка 200 тыс. руб. в год. Оценим величину срока, необходимого для погашения задолженности;

Округлим расчетный срок до 7 лет. Для того чтобы полностью рассчитаться, необходимо несколько повысить срочные уплаты, а именно:

Альтернативой является адекватная компенсация недостающе­ го покрытия долга при выплате ренты с членом 200 тыс. руб. и сроком 7 лет.

Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график погашения), либо следуют какому-либо формальному закону (прогрессии, заданной функции). Остановимся только на одном варианте — изменении расходов по геометрической профессии.

Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометри­ ческую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно за­ писать в виде членов переменной ренты К, Yq, Yq2, ..., Yq"~x. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первона­ чального долга, находим;

- 1

1 + g

где q — заданный годовой темп роста платежей, g — процент­ ная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается деталь­ ный план погашения.

194

ПРИМЕР 9 .8 . Пусть расходы по займу (сумма долга — 1000 тыс. руб .) уменьшаются каждый год на 10 % ; общий срок по­ гашения 5 лет, ставка процента по долгу — 6 % годовых. По усло­

= 60 тыс. р уб ., соответственно, сумма погашения долга равна

латы находятся как Yt х 0 ,9 м . План погашения долга представлен в таблице.

В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожи­ даемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде гра­ фика погашения. Размер последней срочной уплаты не задает­ ся. Она определяется как сумма остатка долга на начало пос­ леднего периода.

ПРИМЕР 9 .9 . Долг в размере 100 000 руб. решено погасить по специальному графику за четыре года — суммы расходов по по­ гашению долга по годам: 40, 20 и 30 тыс. руб. Остаток выплачи­ вается в конце четвертого года.

План погашения имеет следующий вид при условии, что

195

§9.4. Льготные займы и кредиты

Грант-элемент. Предмет обсуждения в данном параграфе также связан с долгосрочными займами. Однако здесь они рас­ сматриваются под другим углом зрения. Дело в том, что в ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются по тем или иным причинам (иногда политическим) под льготные для заем­ щика условия. Низкая (относительно ставки на рынке креди­ тов) процентная ставка в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, ко­ торую можно рассматривать как субсидию. Кредитор в этих ус­ ловиях несет некоторые потери, так как он мог бы инвестиро­ вать деньги на более выгодных условиях.

Проблема определения размера такого рода помощи обсуж­ далась в международных организациях и экономической лите­ ратуре главным образом с позиции межстрановых сопоставле­ ний — для сравнения размеров финансовой помощи, оказыва­ емой ряду развивающихся стран. Однако проблема оценки по­ следствий выдачи льготных займов имеет более общее значе­ ние, так как льготные займы предоставляют и внутри страны.

Грант-элемент (grant-element) — это условная потеря заимо­ давца, которая связана с применением более низкой процент­ ной ставки, чем существующие ставки кредитного рынка. Грант-элемент определяется в двух видах: в виде абсолютной и относительной величин.

Абсолютный фант-элемент рассчитывается как разность но­ минальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов, рассчитанной по рыночной ставке. Проб­ лема, как видим, сводится к выбору надлежащей ставки про­ цента для расчета современной величины. Рекомендации по выбору конкретного значения этой ставки весьма расплывчаты. Обычно используют превалирующую на рынке долгосрочных кредитов ставку.

Размер абсолютного фант-элемента находим следующим об­ разом:

где W — абсолютный грант-элемент, D — сумма займа, G — со­ временная величина платежей, поступающих в счет погашения займа, рассчитанная по реальной ставке кредитного рынка.

196

Относительный грант-элемент характеризует отношение аб­ солютного грант-элемента к сумме займа:

W G

w — относительный фант-элемент.

Как видим, все переменные приведенных формул определя­ ются условиями выдачи и погашения займа.

Выведем рабочие формулы для расчета W и w при условии, что долг и проценты выплачиваются в виде постоянных сроч­ ных уплат. Для анализа последствий выдачи льготных займов этого достаточно.

Пусть заем выдан на п лет и предусматривает выплату про­ центов по льготной ставке g. На денежном рынке аналогичные по сроку и величине займы выдаются по ставке /. В этом слу­ чае при отсутствии льготного периода срочная уплата составит:

а современная величина всех выплат должника очевидно равна

Уа„.,. В итоге П\1

W = D — Уап.. = D

где а„.,, я„.„ — коэффициенты приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок / и & / >g-

П Р И М Е Р 9 .1 0 . Льготный заем выдан на 10 лет под 3 ,8 % . Предус­ матривается погашение долга равными срочными уплатами. И з ­ вестно, что обычная рыночная ставка для такого срока займа рав­ на 8 % . В этом случае

197

Допустим, исходная сумма займа равна 10 млн руб. Тогда аб ­ солютный грант-элемент или условная сумма потерь для кредито­ ра и, соответственно, выгода для должника, составят

IV = 10 х 0 ,18 0 9 = 1,809 млн руб.

Наличие льготного периода увеличивает фант-элемент. Ес­ ли в льготном периоде должник выплачивает проценты, то со­ временная величина поступлений по долгу определяется как сумма двух элементов — современных величин процентных платежей в льготном периоде и срочных уплат в оставшееся время. Таким образом,

где п —L —продолжительность периода погашения задолжен­ ности; L — продолжительность льготного периода.

После ряда преобразований (9.14) получим1

+ (9.|9)

Здесьan_L j, an_L;g — коэффициенты приведенияпостоянных рент со сроком п — L и ставками /' и g\ vL — дисконтный мно­ житель по ставке /.

Обсудим еще один возможный вариант. Пусть в льготном периоде проценты начисляются, но не выплачиваются. Они присоединяются к основному долгу, который погашается в те­ чение п — L лет. Условия такого займа более льготны для долж­ ника, чем при последовательной выплате процентов.

Срочные уплаты и их современная величина в данном слу­ чае равны:

См. Математическое приложение к главе.

198

П Р И М Е Р 9 . 1 1 . Пусть заем в примере 9 .10 предусматривает трехлетний льготный период, в течение которого выплачиваются проценты. Для расчета относительного грант-элемента находим:

Грант-элемент, как было продемонстрировано выше, — ус­ ловная обобщающая характеристика льготности займа (потерь заимодавца и выигрыша должника). Сумма, которая равна фант-элементу, существенно зависит от принятой при ее оп­ ределении процентной ставки. График зависимости относи­ тельных потерь от соотношения процентных ставок показан на рис. 9.1 для сроков займа 5 и 10 лет без льготного периода, g= 5%.

Предельным случаем льготного займа является беспроцент­ ный заем. Выдача такого займа связана с потерями, которые оп­ ределим, полагая, что соответствующие средства можно было бы разместить под проценты по рыночной ставке /. Например, уже при пятнадцатилетием сроке беспроцентного займа и рыночной ставке 10% кредитор теряет почти 50% от суммы долга.

199

§9.5. Реструктурирование займа

Под реструктурированием займа (restructuring loan) понимают пересмотр условий действующего обязательства по погашению задолженности в связи с резким ухудшением финансового по­ ложения должника — для кредитора, очевидно, лучше потерять кое-что, чем все.

При реструктурировании применяются разные приемы, ос­ новными из которых являются:

—прямое сокращение суммы долга,

—уменьшение размера процентной ставки,

—пересмотр сроков и порядка выплат процентов и сумм по­ гашения основного долга.

На практике одновременно применяют несколько из указан­ ных способов. Например, известны случаи, когда к одной час­ ти обязательства применяли сокращение суммы основного дол­ га, к другой — снижение процентной ставки, снижение про­ центной ставки иногда сопровождается увеличением льготного периода и т.п.

В России регламентированы способы реструктурирования задолженности в бюджетную систему и в государственные вне­ бюджетные фонды. В частности, предусматриваются нормати­ вы для срока погашения в зависимости от отношения размера долга к общей стоимости имущества должника. Так, если долг не превышает 10% стоимости, то предусматривается минималь­ ный срок, если долг составляет 45—50%, то производится рас­ срочка погашения до 10 лет.

Какой бы способ реструктурирования ни был принят, обыч­ ным ее следствием является уменьшение современной стоимо­ сти выплат и снижение процентной ставки за задолженность. В силу того, что при реструктурировании изменяются многие ус­ ловия погашения задолженности, точные финансовые послед­ ствия этих изменений неочевидны. Поэтому выбор варианта реструктурирования и оценка финансовых последствий заклю­ чаются в сравнении соответствующих расчетных параметров. Для получения последних необходимо сформировать варианты потоков платежей от должника. Далее на основе принятой для дисконтирования процентной ставки (превалирующая для дан­ ного срока кредита рыночная ставка) рассчитать современную стоимость поступлений.

200