Менеджмент.Финансовая математика
.pdfра исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует
R = -Т ± . |
(6.33) |
я;/
В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданно му значению an.t (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче та величина коэффициента приведения определяется условия ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:
а„.; = |
1 - ( 1 |
+ /)-" |
|
. . . . . |
-------- |
----------- - |
|
(6.34) |
|
Если Z Aq известно, то, определив на основе (6.34) величину |
||||
п, получим |
|
|
|
|
|
—1п(1 |
|
|
|
" — |
и , А |
• |
<б-з5> |
Как видим, для того чтобы задачаимела решение, необходи мо соблюдать условие:
/ 2 Л
R*-< 1.
ПР И М Е Р 6 . 1 1 . Три ренты постнумерандо — немедленные, годо вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:
Rq = 100; 120; 300 тыс. р уб ., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20 % , то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6 .1 ).
Размер члена заменяющей ренты равен
141
R = |
2002,946 |
2002,946 |
|
7 ;2 0 |
3,60459 |
x 1 ,2~3 = 960,189 тыс. руб. |
|
Если бы заменяющая рента была немедленной, то |
|||
|
Я = |
2002,946 |
555,665 1ЫС. руб . |
|
3.60459 = |
Таблица 6.1
Определение члена заменяющей ренты
Рента (я) |
*я |
пя |
/ |
вл„-20 |
^ ал»20 |
1 |
100 |
6 |
20 |
3,32551 |
332,551 |
2 |
120 |
11 |
20 |
4 ,3 2 70 6 |
5 19 ,4 72 |
3 |
300 |
8 |
20 |
3 ,8 3 716 |
1 1 5 1 ,1 4 8 |
И т о го |
520 |
|
|
|
2002,946 |
Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо най ти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется совре менная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.
А = 2002,946 х 1 .2 3 = 3461,0 91 тыс. руб.
По формуле (6.35) получим
. „ |
3461,0 91 _ |
-,n(i |
■= 3,395 года. |
п = ■ |
|
|
In 1 ,2 |
Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку по крытия долга или излишки (см . пояснения в § 5 .4 .) при определе нии срока ренты.
Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = 2! Rq. Все рен ты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим
i - М "
142
где п — срок заменяющей ренты.
После преобразований находим |
|
|
In/? - In У R0(1 + /) |
" |
|
----------Ц Г П ) " |
• |
,6'36) |
П Р И М Е Р 6 .1 2 . Консолидируются ренты, предусматривающие го довые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб .; сроки этих рент 10 , 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. р уб ., то
In 5 - |
In (0,5 х 1 ,Q5~10 + 1 , 5 х 1 ,05~15 + 3 х 1,05~12) |
П~ |
In 1,05 |
|
= 12,6 4 года. |
Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столк нуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправля ясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.
§6.6. Изменение параметров рент
Изменение хотя бы одного условия ренты по существу озна чает замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, та кая замена должна базироваться на принципе финансовой эк вивалентности. Из этого следует равенство современных стои мостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она мо жет быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличе ния. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно опреде лить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.
Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется не медленная рента постнумерандо с параметрами /?,, я,, процент ная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с
143
параметрами R2, п2, t (t не входит в срок ренты). Здесь возмож ны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется R2, и наобо рот. Рассмотрим первую задачу при условии, что л2 = я, = п. Для этого случая справедливо следующее равенство:
Ria„.i = V |
« ;/V'- |
|
Откуда |
|
|
Я2 = Я,(1 |
+/)'. . |
(6.37) |
Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за вре мя t члену заменяемой ренты.
В общем случае, когда п2 * я,, из равенства А, = А2 следует
R2 ш |
+ |
(6.38) |
|
an2;i |
|
где / — продолжительность отсрочки.
П Р И М Е Р 6 .1 3 . Пусть немедленная рента постнумерандо с усло виями Я , = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых. Согласно (6 .3 7) получим
Я 2 = 2 х 1 ,2 2 = 2,88 млн руб.
Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увели чивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновремен но со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, скажем,
до 11 лет вместо 8 |
(л = |
1 1 ) , то по формуле (6.38) находим |
я 2 = R I 4 ^ - х 1 |
>22 = |
2 х в ’в ^ - х 1,22 = 2,55393 млн руб. |
11;20 |
|
4 ,3 270 6 |
Определим теперь срок новой ренты при условии, что раз мер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства
Ra„lU - Rani.jv'
находим
144
- 1п{1 - [ 1 - ( 1 |
+ < Г ”1(1 + <У1 |
|
|
------------й Г |
м ---------- |
• |
<6М) |
П Р И М Е Р 6 .1 4 . Рента с условиями |
Я = |
2 млн р уб ., л = |
5 лет, |
/ = 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим
-1п [1 - ( 1 - 1,0 |
8 -5)1,0 8 3] |
____ |
|
л2 = --------------------------------------------- |
|
= 6,689 года. |
|
In 1,0 8 |
|
’ |
д |
Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обой дется в 1 ,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжитель ность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Современ ная стоимость такой ренты с учетом отсрочки равна
А2 = Яа6;8\^3 = 2000 х 4,6288 х 1 ,08~3 = 7339,58 тыс. руб.
Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 79 8 5 ,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уп латить в начале действия контракта или с соответствующим нара щением в любой иной момент.
Замена годовой ренты на /?-срочную. Пусть годовая немедлен ная рента с параметрами Л,, п{ заменяется на р-срочную с па раметрами R2, п2, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то
а(р)
Причем, если п2 = пх — п, то
ат1 |
/>|0 + |
t)X/p~ |
1] |
|
n\t |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
R2 = |
п\(\ + |
i)VP - |
11 |
(6.41) |
Л,— ------j-------- 4 |
П Р И М Е Р 6 .1 5 . Пусть Я , = 2, л , = л2 = л. Если годовая рента по стнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неиз
145
менности срока ренты эквивалентность замены достигается толь ко за счет корректировки размера выплат. При условии, что / = = 20 % , находим
Я 2 = 2 х |
4 ( 1 ,2 1/4 - |
1) |
- - ’ „ --------- |
= 1,8 6 5 4 1. |
|
|
0,2 |
|
Продолжим пример. Пусть теперь л , = 3, а п2= 4 года. Соглас но (6.40) получим
аз;20 2,10648
R* ~ 2 а<4*о ~ 2 * 2 ,775 5 2 “ 1>5 179 1-
Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществле на и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого сначала нахо дим
а(р) тА |
шА а |
(6.42) |
п* R2 |
R2 |
|
Далее по формуле (5.31) определим п2.
Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной заме ны рент рассматривались применительно к постоянным дис кретным рентам. Однако переход от одного вида к другому воз можен для любых потоков платежей. В каждом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих со временных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей Rt, выплачиваемых спустя nt лет после на чала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, п . Исходное уравнение эквивалентно сти имеет вид
,v-\
Данное равенство дает возможность определить один из па раметров ренты: R или п. Решение обратной задачи — опреде ление членов нерегулярного потока платежей — достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих этому равенству.
146
Математическое приложение к главе
1. Доказательство формулы (6.1)
Имеется ряд платежей: R, R + a, R + 2а, ..., R + (я - 1)а. Определим современную стоимость данного потока плате
жей.
А = Rv + (R + a)v2 + ... + [Л + (я — l)fl]v". |
(1) |
Умножим это равенство на (1 + /) и вычтем из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1 ), получим
iA — R + a v + av2 + ... + av”-1 —[Л + (я — 1 )]avn =
л- 1
= R(\ —v") + а 2 v' —nav" + av".
После чего имеем
1 —уя^ аап;( — nav"
А = R
Напомним, что
1 - V я
a„j ■
В итоге
Л- s + t N - -
2.Метод Ньютона—Рафсона
Спомощью этого метода последовательным приближением определяется нелинейная функция f(x) = 0. Общий вид рекур рентного соотношения:
f(xk) |
(•) |
f . (Xky |
где к — номер итерации, хк — значение х после к-й итерации, f ( x k) — значение производной функции f(xk).
147
Основная задача заключается в разработке функции f(x), удобной для дальнейших преобразований. Применим метод для вывода формулы (6.26).
В качестве заданной принимается величина А. Исходная
функция А = Ranb. Таким образом, |
|
||
/(&) = |
1 - |
е~Ьп |
(2) |
* — |
--------Л = 0. |
||
Разделим это выражение на R и умножим на 6: |
|
||
/ ( 6) = |
1 —е~Ьп —“ 6 = 0 . |
(3) |
Отношение А/R определяется условиями задачи. Преобразу ем полученную функцию и найдем ее производную:
/'(б )-/1 в -б*хя- 4 - |
(4) |
|
' ' |
А |
|
Подставим в общую запись рекуррентного соотношения (1) полученные значения функции и ее производной. Можно на писать искомую итерационную формулу (6.26):
1 |
х л |
А я |
Х' |
6 |
~ ~ В Ьк |
&JUI ” ------------------ |
|
■:— |
|
П е - Ь х п |
- — |
|
|
R |
Очевидно, что, чем ближе начальное значение ставки (60) к истинному, тем меньше потребуется итераций.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997. Гл. 3.
2.Четыркин ЕМ . Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. §5.5.
3.Четыркин Е.М., Васильева Н. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи нансы и статистика, 1990. Гл. 4.
4.Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.
Глава 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
§7.1. Общая постановка задачи. Линейная модель
В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (порого вое, критическое, предельно допустимое) значение некоторо го параметра. Под барьерным значением параметра понимает ся такая его величина, превышение которой приводит к поло жительному или, наоборот, отрицательному конечному эконо мическому результату в рамках некоторой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об опре делении объема производства какого-то продукта, то порого вым его значением является такой объем выпуска, при кото ром полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объ ема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывает ся убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке, задачи решаются с помощью метода барьерной или критической точки (break-even point). Метод барьерной точки широко используется в финансовом проектировании, при раз работке бизнес-планов и при решении разнообразных проб лем: при определении порогового значения процентной став ки, цены товара, срока выполнения финансовой операции и т.д.
Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помо щью линейной модели, которая и рассматривается в данном па раграфе. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих параграфах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределен ности, до сих пор не обсуждались в финансовой литературе.
149
Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся, так сказать, в статике. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого пе риода. В последнее время этот метод распространяется и на по токи платежей, охватывающих ряд последовательных времен ных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно, сро ки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).
Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо най ти пороговый объем производства одного вида продукта при ус ловии, что все необходимые для анализа количественные зави симости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.
Для записи такой модели примем обозначения:
Q — объем производства (в натуральном или условно-нату- ральном измерении);
F — постоянные производственные затраты, затраты, не за висящие от объема выпуска;
с — переменные, или пропорциональные затраты (в расчете на единицу продукции);
р — цена единицы продукции; S — общая сумма затрат;
V — стоимость выпущенной продукции; Р — размер прибыли до уплаты налогов.
Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одина ковый интервал времени, обычно на один год.
Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и со ответствующую сумму затрат:
V=pQ, |
(7.1) |
S = F + c Q . |
(7.2) |
Искомый критический объем производства или барьерную точку получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V = S. Именно равенство двух раз нородных экономических показателей, каждый из которых яв ляется функцией одной управляющей переменной (в рассматри
1S0