Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	Тогда							1		0			0 2
								1		0			0 2			0 0
	X D	1		1
		1		1						3 2					0	2 0
		C				0				3 2		1 2			0	2 0
															0	0 2

								0 1 2					3 2				.
	2		0					0

			3
	0		3				1
			1

	0								3
														1	1	1
	Найдите ранг матрицы														2
	Найдите ранг матрицы											A 2			2	2 .
															1
														1	1	1
	РЕШЕНИЕ: есть миноры первого порядка, отлич-
	ные от нуля, например, M1 1; есть миноры второ-
	го порядка, отличные от нуля, например,
23	M2	2			2			2 2 4 0 ; единственный минор										2
		2			2
		1			1
		1			1
	третьего порядка – определитель матрицы равен
							1			1	1
	нулю, M3						2			2	2	0 . Ранг матрицы

1 1 1

	r(A) 2 .
									1			1	1	1	1
												3	6	6
									3			3	6	6	9
	Вычислите ранг матрицы									1		1	4	4	9
	Вычислите ранг матрицы									1		1	4	4	9	.
										1		1	8	8	27
	РЕШЕНИЕ:									1		1	8	8	27
	РЕШЕНИЕ:
	1			1	1	1	1
24			3 6			6										4
24	3		3 6			6	9									4
		1 1 4 4					9	2		3 1 2
		1 1 4 4					9	2		3 1 2
		1		1	8	8	27
		1		1	8	8	27
		1		1	1	1	1

		0		6 3		9	6				2	2
			1 1 4 4				9				2
			1 1 4 4				9			3
										3
			1	1	8	8	27
			1	1	8	8	27

1		1	1	1	1
		2	1	3
0		2	1	3	2		3 1					3
	1 1		4 4		9
	1 1		4 4		9
	1	1	8	8	27
	1	1	8	8	27
1		1	1	1	1
		2	1	3
0		2	1	3	2		4 1 4
	0 0 3 3				8
	0 0 3 3				8
	1	1	8	8
	1	1	8	8	27
1		1	1	1	1
		2	1	3
0		2	1	3	2
	0	0	3	3	8			4		2			4
	0	0	3	3	8			4		2			4
	0	2	7	9	26
	0	2	7	9	26
1		1	1	1	1
		2	1	3
0		2	1	3	2				2
	0	0	3	3	8			4	2		3		4
	0	0	3	3	8			4			3		4
	0	0	6	6	24
	0	0	6	6	24
1		1	1	1	1
		2	1	3
0		2	1	3	2
	0	0	3	3	8
	0	0	3	3	8	.
	0	0	0	12	8
	0	0	0	12	8

В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали 72 0 , значит, ранг матрицы равен четырем.

	3.4. Системы линейных уравнений
№	Задание	Ответ
п/п
	Решите систему линейных уравнений матричным
	2x 11y 2,
	методом
	x 2 y 1.	1
25
25	РЕШЕНИЕ:

			0

2	11		x
				1		2
		,			,		,
A		,	X		,	B	,

1	2		x2			1

																						11		1


			2 11				1			0	1		11			1		0		1			2			2	0
														2			2						2			2
A	E													2			2
A	E
			1		2		0			1			2			0					0	15			1
			1		2		0			1												15			1
											1							1									1


																							2			2
		11			1									0		2		11
	1	11			1	2				0		1		0		2		11
			2			2										15			15
			2																		.
				1						2				1		1			2
				1						2		0		1		1			2
	0		1
					15					15					15					15
			2			11
1			15								1		2	11				1
1			15					15			1		2	11				1
																				A .
A																				A .

								2			15 1			2				15
		1						2	15		15 1			2				15
			15						15
			1						1
			1	B
X A				B

										0

3x 5y 5,

Решите систему

6x 10 y 7.

РЕШЕНИЕ:

26 A	3	5	5	,		3	5	0 ,	1	5	5	0	несовместна

	B
	6	10	7			6	10			7	10

	rang	A 1,		rang A	B 2 ,

по теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Решите систему линейных уравнений

x 2y 4z 31,

5x y 2z 29,

3x y z 10

и ответьте на вопросы об этой системе.

РЕШЕНИЕ:
																	3

27	1		2	4						31		2	4
27	1		2	4						31		2	4				4


	5 1			2	27 0 ,		x			29		1 2			81,		5
	5 1			2	27 0 ,		x			29		1 2			81,
	3		1	1						10		1 1
		1	31	4					1			2	31
		1	31	4					1			2	31
y		5	29	2		108 ,	z		5			1	29	135.
		3	10	1					3			1	10
По формулам Крамера							x	x			,	y	y	,	z	z	и
По формулам Крамера							x				,	y		,	z		и

	x	3
X		4
X	y	4	.
		5
	z	5

Данная система линейных уравнений:

1)однородна - нет;

2)неоднородна - да;

3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;

4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - нет;

5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - да;

6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;

7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;

8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;

9)система несовместна - нет;

10)система совместна - да;

11)может быть решена методом Крамера - да;

12)может быть решена методом Гаусса - да;

13)имеет базисный минор первого порядка - нет;

14)имеет базисный минор второго порядка - нет;

15)имеет базисный минор третьего порядка - да;

16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;

17)имеет одно базисное неизвестное - нет;

18)имеет два базисных неизвестных - нет;

19)имеет более двух базисных неизвестных - да;

20)не имеет свободных неизвестных - да;

21)имеет одно свободное неизвестное - нет;

22)имеет более двух свободных неизвестных -

нет;

23)решений не имеет - нет;

24)имеет единственное решение - да;

	Решите систему линейных уравнений
	x2 3x3				4x4				5,		1
	x 2x				3x			4,			1
	x 2x			3	3x		4	4,
		1		3			4				2
28										X	2
	3x1		2x		2 5x			4 12,		X	1
	3x1		2x		2 5x			4 12,			1
	4x 3x					5x			5.
	4x 3x				2	5x		3	5.
		1			2			3			1
	РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы

0		1	3	4	5
		0	2	3	4
1
	3	2	0	5	12
						.
	4	3	5	0	5

Если 0 , то неизвестные можно найти по формулам Крамера:

x	1		x		2		x		3		x		4
x			x		2		x				x		4
1		,		2		,		3		,		4	.

Вычислим основной определитель матрицы системы разложением по элементам первой строки:

	0	1		3	4			0	2		3
	0	1		3	4
	1	0	2		3
	1	0	2		3	0 ( 1)1 1		2 0			5
	3	2	0		5	0 ( 1)1 1		2 0			5
	3	2	0		5			3	5		0
	4	3	5		0			3	5		0
	4	3	5		0
1 ( 1)1 2				1	2	3	3 1 1 3			1	0	3
				1	2	3				1	0	3
				3	0 5					3	2	5
				4	5	0				4	3	0
			1		0	2
4 1 1 4 3					2 0

43 5

0 0 1 30 3 18 4 12 24.

Чтобы получить определитель 1 , заменим в первый столбец столбцом свободных членов


	5	1			3		4			разложим
	4	0			2		3
1	4	0			2		3			определитель
1	12	2		0			5
	12	2		0			5			по элементам
	5	3			5		0
	5	3			5		0			второго столбца
1 ( 1)1 2			4			2	3		0 ( 1)2 2		5		3		4
			4			2	3				5		3		4
			12			0 5					12			0 5
				5		5	0				5		5		0
2 ( 1)3 2					5	3		4		3 ( 1)4 2		5		3	4
					5	3		4				5		3	4
					4	2		3				4		2			3
					5	5		0				12		0		5

1 ( 30) 0 ( 2) 0 3 ( 2) 24.

Аналогично вычисляем 2 , 3 и 4 :

			0	5				3					4
2			1	4				2					3						48
2			3	12				0					5						48
			3	12				0					5													,
			4		5			5					0
			0	1			5					4
			0	1			5					4
3			1	0			4					3				24
3			3	2			12					5				24								,
			3	2			12					5												,
			4	3				5				0
			0	1			3					5
			0	1			3					5
4			1	0			2					4				24
4			3	2				0				12				24											.
			3	2				0				12															.
			4	3			5						5
		Отсюда					x				1							24					1						,		x		2				2	48	2				,
							x																1								x								2
								1										24																				24
																		24																				24					1
																																											1
		x3		3			24		1 , x4																4						24					1 ,					2
																																						X						.
							24																							24								X						.
							24																							24													1


																																										1
Решите систему линейных уравнений:
				x		2x					2x									x							x							1,
					1					2							3								4							5
				2x1 4x2 4x3 2x4 2x5 2,																																									1				2
				x				2x				2	2x								3		x					4		x					5	1.										0				1
						1						2									3							4							5
РЕШЕНИЕ:																																												X 0 c					0
РЕШЕНИЕ:																																														0		1		0
Запишем расширенную матрицу системы A																																										B				0				0
Запишем расширенную матрицу системы A																																										B				0				0
	1			2 2 1										1								1

																																													2				1
		2		4		4 2 2															2						2 2 1 2																			0				0
		2		4		4 2 2															2						2 2 1 2																			0				0
29		1		2		2 1 1															1																							c		1	c			0
29																																												2				3
		1		2				2					1 1														1																			0				1
		1		2				2					1 1														1																			0				1
				0				0					0						0																	3 1 3										0				0
0				0				0					0						0								0									3 1 3										0				0
																																														1
		1		2				2 1												1					1																					0
		1		2				2 1												1					1
	1		2		2			1 1								1

																																												c		0
																										1														1 .				c		0
0 0 0								0 0							0															2 2 1								1						4		0
0 0 0								0 0							0															2 2 1								1						4
			0		0			0				0				0
	0		0		0			0				0				0																														1
																																														1

Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы сис-

темы, следовательно, по теореме Кронекера– Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:

				x1 2x2 2x3 x4 x5 1.
	В качестве базисного неизвестного выберем x1 ,
остальные неизвестные считаем свободными. При
x2	c1, x3			c2 ,					x4 c3 , x5								c4			выразим базисное
неизвестное через эти параметры:
x1 2c1 2c2 c3 c4 1 .
	Итак,
				x1 2c1 2c2 c3 c4 1,
				x		2	c ,
						2				1
							c2 ,
				x3			c2 ,
				x		4	c				3	,
						4					3
							c4 ,
				x5			c4 ,
					2								2				1			1					1

				1									0				0			0				0
						0			c2						c3
		X c1				0			c2				1		c3		0			c4 0					0 .
				0									0				1			0				0
						0
						0							0				0			1					0
Решите систему линейных уравнений																										0				0
Решите систему линейных уравнений																										0				0
																														0
x1		2x2				3x3							4x4				4x5			4x6						0					4
																							18,			6					4


																										X	c1			3
		2x2				3x3							4x4				4x5			4x6			18,			0
		2x2				3x3							4x4				4x5			4x6			18,			0				1
					3x								4x				4x		4x				18,			0				0
																														0
								3						4				5			6
								3						4				5			6					0				0
		4x2				6x3							8x4				8x5			8x6				36,						0
30 2x1		4x2				6x3							8x4				8x5			8x6				36,			0					0
3x		6x				9x							12x			12x				12x				54,			0					0
3x		6x				9x							12x			12x				12x				54,			0					0
	1	8x	2	12x					3				16x		4	16x			5	16x			6	72.			0					0
4x		8x	2	12x					3				16x		4	16x			5	16x		6		72.				4					4
	1		2						3						4				5			6						4					4
РЕШЕНИЕ:																													c3
РЕШЕНИЕ:																										c2	3		c3			3
	Запишем расширенную матрицу системы																										0					0
	Запишем расширенную матрицу системы																										1					0
																											1					0
																											0					1
																											0					1

		1		2		3	4	4	4		18
			0	2		3	4	4	4		18

A		0		0		3	4	4	4		18
	B		2	4		6	8	8	8		36

		3		6		9	12	12	12		54

		4		8	12		16	16	16		72
	4 2 1 4
	1			2	3	4	4	4		18

		0		2	3	4	4	4		18

	0			0	3	4	4	4		18
		0		0	0	0	0	0		0

	3			6	9	12	12	12		54
		4		8	12	16	16	16		72

				5	3	1		5
				5		1		5
				6	4				6
				6		1			6
1		2	3	4	4	4	18
1		2	3	4	4	4	18

0		2	3	4	4	4	18			1	2	3	4	4	4	18
										1	2	3	4	4	4	18

0 0 3 4 4 4														4 4
0 0 3 4 4 4							18 0 2 3 4							4 4		18 .
0 0 0 0 0 0							0
	0	0	0	0	0	0	0			0 0 3 4				4 4		18
	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0

В левом верхнем углу матрицы стоит опреде-

	1	2	3
литель z	0	2	3	6 0 , его можно считать ба-
	0	0	3

зисным минором. Ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера–Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью

преобразований 1 2 1 получим:

2 3 2

1		0	0	0	0	0	0
	0	2	0	0	0	0	0
								.
	0	0	3	4	4	4	18

Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:

x1 0,

2x2 0,

3x3 4x4 4x5 4x6 18.

Базисный минор содержит базисные неизвестные x1, x2 , x3 . Свободными являются неизвестные

x4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным
значения x4										c1,				x5 c2 ,					x6	c3		и перенесем их в
правую часть уравнений:
x1 0,																			x1		0,
x1 0,																			x		0,
				0,															x		0,
2x2				0,																2		4				4			4
																						4				4			4
3x		3		4c 4c							2	4c			3	18,			x	3			c				c	2		c	3	6,
3x				4c 4c								4c				18,			x				c				c			c		6,
x								1														3		1		3			3
x	4		c				,														c	3				3			3
	4				1		,												x		c	,
x	5		c			2	,													4	1
	5		c			2													x5		c2 ,
x	6		c			3
	6					3															c3.
																			x6		c3.
								0							0					0		0

							0						0						0			0
									4							4					4			6
X c										c							c
X c									3	c						3	c				3				.
				1			1					2	0					3	0			0
																								0
							0						1						0					0
																								0
								0							0					1				0
Решите систему линейных уравнений
x1 2x2 3x3 4x4 4,
				x3 x4 3,
x2				x3 x4 3,																															0	8
				3x2 3x4 1,																															0	8
x1				3x2 3x4 1,
31 7x							3x			x				3.																		X	c	1		3
31 7x							3x			x				3.																		X	c		2	6
					2			3					4																						2	6
РЕШЕНИЕ:																																			1	0
РЕШЕНИЕ:																																			1	0
	Воспользуемся методом Гаусса. Запишем рас-
ширенную матрицу системы:

1			2	3	4		4
	0		1	1	1
	0		1	1	1		3				3			1			3
1			3	0	3		1

	0		7	3	1		3
	0		7	3	1		3
		1		2	3	4				4
			0	1	1		1		3				3	5	2					,
					3		1						3		2			3
		0 5			3		1		3				4	7		2			4
													4			2			4
			0	7	3	1
			0	7	3	1			3
		1		2	3	4				4
		1		2	3	4				4
			0	1	1			1	3
			0	1	1			1	3			4 2 3 4
		0		0	2	4			12
			0	0	4	8			24
			0	0	4	8			24
		1		2	3	4			4
		1		2	3	4			4
			0	1	1	1		3					3
					2 4								3	3
												2		3
		0 0							12			2
			0	0	0	0			0


		1		2	3	4			4
		1		2	3	4			4
			0 1		1	1
			0 1		1	1		3 .
			0	0	1	2			6

В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка

1 2 3

0 1 1

1 0,

0 0 1

значит, ранг основной матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна.

Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования 2 3 2 :

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015506.74 Кб7алган23.pdf
#
23.02.2015319.66 Кб7алган26.pdf
#
23.02.20152.1 Mб19Алгебра и геометрия_ag.pdf
#
22.02.2015600.58 Кб16Алгебра матриц.doc
#
23.02.201514.12 Mб65Алгебра, Сборник задач - Проскуряков.pdf
#
23.02.20151.29 Mб26Алгебра.pdf
#
23.02.2015328.51 Кб27алгоритм плоской укладки.pdf
#
28.08.2019120.83 Кб9алгоритм работы Р-353 СМ.doc
#
01.03.2025234.5 Кб1Алгоритмизация вычислений в среде электронных т...doc
#
01.07.202541.44 Кб0Алгоритмизация и программирование раздат матери...docx
#
03.05.2015408.28 Кб25Алгоритмы на графах.pdf