Олимп-2010, 0.4, решения

Уральский государственный технический университет – УПИ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Олимпиада по математике

11апреля 2010 г.

11.(Л.П.Мохрачева) Векторная линия силового поля F xyi xj yzk проходит через точку М0 1,0,1 . В точке М0 находятся две материальные точки, которые

перемещаются вдоль векторной линии на одинаковые расстояния l в разные стороны от точки М0 . Найти суммарную работу, затраченную на эти перемещения.

Решение. Система уравнений векторной линии имеет вид:

Дифференциал длины дуги этой кривой dl 1 2y2dy и смещению на l в одну

Суммарная работа равна нулю.

Ответ. 0.

Уральский государственный технический университет – УПИ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Олимпиада по математике

11 апреля 2010 г.

Уральский государственный технический университет – УПИ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Олимпиада по математике

11апреля 2010 г.

13.(И.Ю. Андреева) В стране 15 городов, каждый их которых соединён дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что по этим дорогам из каждого города можно добраться до любого другого.

Решение. Рассмотрим два произвольных города и предположим, что они не соединены путём, т.е. такой последовательностью дорог, в которой начало одной дороги совпадает с концом другой. Каждый из этих городов по условию соединён с не менее чем с семью другими. При этом все упомянутые города различны, так как , если два из них совпадают, то существует путь, соединяющий исходные города. Таким образом, в городе оказывается не менее 16-ти городов, что противоречит условию.

Уральский государственный технический университет – УПИ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Олимпиада по математике

11апреля 2010 г.

15.(Б.М.Веретенников) Каким условиям должны удовлетворять векторы a,b,c ,

с a b a c,b b a,c следует a c,b c a,b . Это равенство выполнено в следующих случаях:

1. Если хотя бы один вектор нулевой

2. Если c,b 0, a,b 0, т.е. векторы a,c перпендикулярны вектору b

3.Если векторы ненулевые и не перпендикулярны вектору b , то a c, т.е. векторы коллинеарны.

Ответ. Если векторы ненулевые, то условия имеют вид:

1.a b,c b

2.a c

Уральский государственный технический университет – УПИ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина

Олимпиада по математике

11апреля 2010 г.

16.(Л.П.Мохрачева) Пуля, летящая прямолинейно и горизонтально, не изменяя траектории движения пробила доску толщиной 5 см. При этом её скорость изменилась с 150 м/с до 80 м/с. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, найти время движения пули в доске.

Решение. Так как сила сопротивления направлена против направления движение,

то F kV2 t , где k-коэффициент пропорциональности, а V t -мгновенная скорость. С другой стороны, по второму закону Ньютона F mV t , где m-

масса пули. Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

Учитывая, что V t S t , где S t - путь, пройденный пулей в доске, получим