РешОлимпиады 15.05.11

11. (Мохрачева Л.П.) Три спутника движутся с равными скоростями по круговым орбитам радиуса R, лежащим в плоскостях XOY, YOZ, и XOZ. В начальный момент времени спутники находятся в точках M1 R,0,0 , M2 0,R,0 и

M3 0,0,R и движутся по часовой стрелке относительно положительного нап-

равления осей. Считая, что спутники находятся в вершинах треугольника, определить его наибольшую и наименьшую возможную площадь.

Р е ш е н и е. На рисунке показаны позиции спутников после последовательного прохождения двух четвертей орбит.

1

2

3

Так как спутники движутся с равными скоростями, то треугольник, который образуют спутники, является равносторонним. Экстремальные значения площади в этом случае достигаются при экстремальных значениях расстояний между спутниками, например, первым и вторым. Положение первого спутника определяется координатами M1 Rcos , Rsin ,0 , а второго

M2 0,Rcos , Rsin . Тогда

M1M2 R2 cos2 R2 sin cos 2 R2 sin2

12. (Веретенников Б.М.) Построить график уравнения

2x2 4xy 3y2 6y x 2y .

Р е ш е н и е. Возведём обе части уравнения в квадрат

2x2 4xy 3y2 6y x2 4xy 4y2 , т.е. x2 y2 6y 0 или x2 y 3 2 9.

О т в е т. Графиком является часть гиперболы x2 y 3 2 9,

расположенная выше прямой y x .

2

n

О т в е т. 1.

Неравенство доказано.

16. (Веретенников Б.М.)

Выразить, если это возможно, число z cos12 isin12 в виде произведения

35 35

z1z2 , где z1 - корень 7-й степени из 1, а z2 -корень пятой степени из 1.

Р е ш е н и е. Аргументы корней 7-й степени из единицы равны