к/р по математики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

б) lim cos x tg 5x.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

489.76 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

IV семестр

Программа

Элементы линейной алгебры

1.Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2.Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие ее существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3.Система линейных уравнений: понятие ее решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4.Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5.Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7.Понятие квадратичной формы. Приведение ее к каноническому виду.

8.Системы дифференциальных уравнений, их решение методом исключения

иметодом собственных векторов. Понятие устойчивости решения системы. Исследование устойчивости с помощью собственных значений.

Теория вероятностей и математическая статистика

1.Понятие события. Пространство элементарных событий. Виды событий. Действия над событиями: сложение, умножение.

2.Относительная частота события, ее свойства. Классическое и статистическое определение вероятности.

3.Определение условной вероятности. Понятие независимых событий. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

4.Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

5.Дискретная случайная величина: ряд распределения, функция распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и их свойства; среднее квадратическое отклонение.

6.Непрерывная случайная величина: функция распределения, плотность распределения, числовые характеристики, законы распределения (равномерный, показательный, нормальный) и их числовые характеристики.

7.Генеральная и выборочная совокупности. Распределение выборки: дискретные и интервальные статистические ряды. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Среднее арифметическое, выборочная дисперсия, их свойства.

8.Оценка параметров генерального распределения по выборке. Точечные оценки, их несмещенность, состоятельность. Интервальные оценки, доверительный интервал, построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении (выборки большого объема).

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить в четвертом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 4.

							Таблица 4

Номер	Контрольная работа № 7			Контрольная работа № 8
варианта	Номера задач			Номера задач
1	281	291	301	241	251	261	271
2	282	292	302	242	252	262	272
3	283	293	303	243	253	263	273
4	284	294	304	244	254	264	274
5	285	295	305	245	255	265	275
6	286	296	306	246	256	266	276
7	287	297	307	247	257	267	277
8	288	298	308	248	258	268	278
9	289	299	309	249	259	269	279
10	290	300	310	250	260	270	280

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А1А2; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А1А2А3; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды.

1.А1(7, 7, 6), А2(5, 10, 6), А3(5, 7, 12), А4(7, 10, 4).

2.А1(6, 1, 1), А2(4, 6, 6), А3(4, 2, 0), А4(1, 2, 6).

3.А1(8, 7, 5), А2(10, 6, 6), А3(5, 7, 9), А4(8, 11, 8).

4.А1(7, 7, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1).

5.А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).

6.А1(4, 4, 10), А2(4, 10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 8, 9).

7.А1(4, 6, 5), А2(6, 9, 4), А3(2, 10, 10), А4(7, 5, 9).

8.А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5, 10, 4), А4(4, 7, 8).

9.А1(10, 6, 6), А2(-2, 8, 2), А3(6, 8, 9), А4(7, 10, 3).

10.А1(2, 9, 3), А2(6, 3, 7), А3(6, 8, 5), А4(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11.

а) y2 16x 6 y 25 0 ,

б) y 3

21 4x x2 .

12.

а) 2x2 2 y2 8x 16 y 22 0 ,

б) x 9 2

y2 4 y 8 .

13.

а) 16x2 25 y2 32x 100 y 284 0 ,

б) y 5

3x 21

14.

а) 4x2 3y2 8x 12 y 32 0 ,

б) x 2

6 2 y

а) 16x2

9 y2 64x 18 y 199 0 ,

15.

б) x 5

y2 6 y 40 .

а) 5x2 9 y2 30x 18 y 9 0 ,

16.

б) y 7 1,5

13 6x x2 .

17.

а) 2x2 2 y2 12x 4 y 30 0 ,

б) x 4 3

5 y

а) x2 4x 4 y 2 0 ,

18.

б) y 1

9 x2 .

а) 16x2

y2 32x 8 y 48 0 ,

19.

б) y 1

5 4x x2 .

а) 16x2

9 y2 64x 54 y 161 0 ,

20.

б) x 2

6 y 5 .

21–30. 1) Записать число a в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число a в тригонометрической и показатель-

ной формах; 4) вычислить a5 ; 5) найти все корни уравнения z3 a 0 .


21.	a		1				.	22. a	1		.
21.	a						.	22. a			.
				3 i					3 i
		2				.				4		.
23.	a	2			2			24. a		4
23.	a	1						24. a
		1	i							3 i

25.	a	2	2		.		26.	a	4				.

		1 i							1		3i
	a	2				.		a	2			.
27.				2			28.			2

	1 i					1 i
29. a		4			30. a		4
				.				.
				.				.
1			3i				3 i

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

x2 3x

x 3

x 3 x 4

31. а) lim

б) lim

32. а) lim

б)

lim

x 0

sin 3x

x x 7

x 1

x 0

cos3 x cos x

x x 4

2xtg3x

6x 7

1 cos x

x 3

33. а) lim

б)

lim

34. а)

lim

б) lim

1 cos 6x

6x 3

5x2

x 0

x x

arcsin2 3

2x 1

cos x cos3 x

4x 2 2x

35. а) lim

, б) lim

. 36.а) lim

,б)

lim

2x 1

x 0

37. а) lim

1 cos 6x

б)

2x 3

x 1

38. а) lim

1 cos 4x

б)

x 1

x 2

lim

x 0

1 cos 2x

2x 1

x 0

2xtg2x

x x 3

x2 1

3x2

3sin 7x

10x 3

39. а) lim

б)

40. а) lim

б)

lim

10x 1

x 0

arctg x

x 0

sin 2x

41–50. Дано уравнение y f (x) кривой, точка x0 и уравнение прямой

Ax By C 0 . Требуется: 1)					составить уравнения касательной и нормали к
данной кривой y f (x)				в точке с абсциссой x0 ; 2) найти точку на кривой
y f (x) , в которой касательная параллельна прямой Ax By C 0 .
41.	y x x3,		x	1,	10x y 0.
			0
42.	y 2x2	3x 1,	x	1,	5x y 2 0.
			0
43.	y 2x2	3,	x	1,	8x 2 y 5 0.
			0
44.	y 2x2	3x 1,	x	2,	7x y 3 0.
			0
45.	y x x2 ,		x	1,	10x 2 y 7 0.
			0
46.	y 2x x2 ,		x	1,	12x 3y 10 0.
			0
47.	y 2x2	3x 1,	x	1,	9x 3y 4 0.
			0
48.	y x3 2x 1,		x	0,	5x y 3 0.
			0
49.	y x3 x,		x	2,	8x 2 y 1 0.
			0
50.	y x2 x 3,		x	1,	9x 3y 7 0.
			0

51–60. Найти производные dydx данных функций.

3x 2 2

y x x2

x2 4 ,

51. а)

б)

2x 1

52. а)

tg3x sin x

б)

y cos x x2 .

cos3 x

53. а)

arcsin x

б)

y cos x x .

1 x2

54. а)

8x2

б)

y 1 x2 ctg x .

4x 3

2 x2

55. а)

ecos x 3

б)

y xln x .

3x2 x

3x 6x2

y x tg x .

56. а)

x2 x

б)

2 x 5

57. а)

cos 2x ,

б)

y x x .

y 3

y arcsin x x .

58. а)

4 ln cos x ,

б)

59. а)

e3x ,

б)

y arctg x ln x .

x 1

y sin x ln x .

60. а)

2x ,

б)

3 x 2

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61.

а)

lim

1 x2

x 0

а) lim

62.

x 1 x2 x

63.

а)

lim

2 x

x 7

64.

а)

lim

1 3x 1

x 0

а) lim

65.

x 11 3 x

66.

а)

lim

e x

x 0 ln 1 x

			1
б)	lim x e		x	1 .
	x

б)	lim	x5 ln x.
	x 0 0
б)	lim e x2			ln x.
	x
б)	lim	x2 ln x.

x 0 0

б) lim xctg x

x 0

б) lim 1 cos x ctg x.

x 0

68. а)

lim

2x 1

x 3

69. а)

lim

1 3x2 1

x2 x3

x 0

70. а)

lim

1 3x

1 2x

x2 x

x 0

б)

lim sin 2x 1 tg x
x	1
x
2
lim			x2 ln		1		.
lim			x2 ln				.
x 0 0						x

lim		x				tg x.
lim		x		2		tg x.
x				2
	2

71–80.Провести полное исследование функции. По результатам исследования построить график функции.

71. а) y 2x2ex ,	б) y 1	x 1	.	72. а) y x2e x ,	б) y x	8	.
		x 1 2
						x4

73.

а) y x 1 e3x 1 , б)

x 4

74. а)

y x 4 e x ,

x 1 2

75.

а) y x 3 e x ,

б)

y 1

4x 1

76. а)

y x4e 2 x2

, б)

а) y x 1 e2x ,

x 1

77.

б)

78. а) y xe 2

x 1 2

79.

а) y x 5 ex ,

б)

3x x2

80. а) y xex 3 ,

x 2

81–90. Найти неопределенные интегралы.

б) y	4x	.

1 x2

2x 1 y 2 x 2 2 .

б) y x2 4 . x2 1

б) y 1 x2 . x2 1

81.

а)

dx ,

б) xexdx ,

в) sin5 xdx ,

г)

dx .

1 x8

3 x 3 2

x 3

x arcsin x

cos3 x

82.

а)

dx , б)

dx , в)

dx ,

г)

x 1

dx .

x 3tg x 1

sin x

cos

1 x2

x 1

83.

а)

cos 3x

dx ,

б) x2e3xdx ,

в) sin2 x cos2 x dx ,

г)

dx .

4 sin 3x

x 2

84.

а)

cos x

dx , б) x sin x cos x dx ,

в) sin2 x cos3 x dx ,

г)

dx .

sin

sin x

85.

а)

dx ,

б) x2 sin 4x dx ,

в) cos5 x dx ,

г)

1 2x

dx .

1 2x

3 2cos x

86.а)

87.а)

88.а)

89.а)

90.а)

4 ln x

dx ,

б)

x ln2 x dx ,

в)

sin4 x dx ,

г)

4 x2

dx .

x arctg x

dx ,

б)

x ln x2 1 dx ,

в)

cos3 xdx ,

г)

x 5

dx .

1 x2

1 3

x 5

sin x

dx ,

б) x arcsin

dx ,

в)

cos4 x dx ,

г)

dx .

3 cos5 x

4 4 x3

esin

x sin 2x dx ,

в) sin2 x cos4 x dx ,

б)

arctg x dx ,

г)

dx .

ex ln 1 3ex dx ,

x 1

sin2 x cos5 x dx ,

dx ,

б)

в)

г)

4 x2 dx .

4 x2 5

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.


		dx					3	xdx						dx					ln xdx
91.		dx		. 92.	xe x2 dx .	93.		xdx			. 94.			dx	.		95.		ln xdx			.
91.		3		. 92.	xe x2 dx .	93.				2	. 94.				.		95.					.
	2	x ln	x		2		x2 1					0		x 1 3			1			x
		dx					0	dx					arctg x dx								dx
96.		dx	.	97.	x2e x3 dx .	98.		dx	.	99.			arctg x dx			.	100.				dx		.
96.			.	97.	x2e x3 dx .	98.		2	.	99.			2			.	100.				2		.
	2	x ln x			2		x	4				0		x 1				1		x	x 1

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101.

а)

2xy 0 ,

б)

y tgx sin 2x .

102.

а) 2x3 y y 2x2 y2 ,

б) 2 yy y2

y 2 .

103.

а)

2xy ,

б)

x 1 x x 1 .

104.

а) xy y 2xy 0 ,

б) xy 2 y x3 sin x .

105.

а)

б)

y ,

cos x y 1 sin x ,

106.

а)

б)

x x .

107.

а)

б)

y2 ,

y y 1 y

108.

а) xy y 4 0 ,

б) xy y x2ex .

109.

а) xy xy ex ,

б) x2 y y 2 .

110.

а)

y sin x y 2 cos x ,

б) xy 2 y x3 .

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. y 4 y 6x 1 8e 4x . 112. y 4 y 13y 26x 5 9e2x .

113.	y 5 y 6 y 12x 7 e2 x .																	114.	y 5 y 6 y 12x 4e 2 x .
115.	y 2 y 5 y xe2x .																	116.	y 4 y x e 2 x .
117.	y 6 y 9 y x 3 e3x .																	118.	y 4 y 12 y 2x 8 3e2x .
119.	y 6 y 9 y 9x 10e 3x .																	120.	y 2 y y 2ex x2 .
121–130. Исследовать сходимость числового ряда.
				4 5n2									2n 1 n							1 n 4n 3						1 n
121.									. 122.								.	123.					.	124.				.
121.			n 1 n 2						. 122.						n 5		.	123.		3n2 1			.	124.			n3n	.
	n 2		n 1 n 2									n 1			n 5				n 1	3n2 1					n 1		n3n
				1	n							3n	4						1						1
				1

125.					.		126.								. 127.						. 128.	cos					.
125.					.		126.								. 127.						. 128.	cos					.
	n 2		n ln n					n 1 n2 2 2									n 1 2n 1 2			1		n 1		n 3
											2	n		5
129.		n 3				.	130.			n		n		5		.
129.						.	130.									.
	n 1 n3 2							n 1 n2 n 4

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

x 1

x 2

131.

132.

. 133.

n 1 n n 1

n 1

135.

3 n

136.

3 n

. 137.

n 1

2n 1

139.

xn . 140.

3n 1

n 1

5n x 3 n

n x 3 n

. 134.

n 1

x 2

n 1

138.

xn .

3n n 2

n 1

141–150. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

	1			1 2				ln	1 x		2				1 2		1 2
141.	cos					dx . 142.							dx .	143. xe xdx . 144. cos x2dx .
				x
				x						x
	0						0			x					0		0
	0						0								0		0
	1 2						1							1	x2	1 2	sin x2
	1 2						1							1		1 2
145.		1 x2 dx . 146.					sin x2dx . 147.							e	3 dx . 148.			dx .
145.		1 x2 dx . 146.					sin x2dx . 147.							e	3 dx . 148.		2	dx .
	0						0							0		0	x
	0						0							0		0
	1 2						1 2			1
149.			sin x dx . 150.										dx .
		x
									3
									3	1 x		2
	0						0			1 x
151–160. Найти точки экстремума функции z f x, y .
151.	z y					y2 x 6 y .									152.	z 2x3 xy2 3x2 2 y2 .
151.	z y				x	y2 x 6 y .									152.	z 2x3 xy2 3x2 2 y2 .
153.	z x2			y2 2 y 1.											154.	z x y2 6 x y .
155.	z x3			3y2 12x 6 y 7 .											156.	z x3 3xy2 15x 12 y .
157.	z x2			xy y2 2x y .											158.	z x2 xy y2 9x 6 y 20 .

159. z x2 xy y2 2x y . 160. z 2x3 xy2 5x2 y2 .

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции z f (x, y) в

замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.

161.	z x2 3y2 x y ,		D :	x 1, y 1, x y 1.
162.	z 5x2 3xy y2 4 ,		D :	x 1, y 1, x y 1.
163.	z x2	2xy 2 y2 ,	D :	1 x 1,	0 y 2 .
164.	z x2 xy ,		D :	1 x 1,	0 y 3 .
165.	z x2	2xy y2 4x ,	D : x 0, y 0, x y 2 0 .
166.	z x2	xy 2 ,	D : 4x2 4 y 0 .
167.	z x2 9xy 2 y2 27 ,		D :	0 x 3, 0 y 3.
168.	z x2	2 y2 1,	D :	x 1, y 1, x y 1.
169.	z 3 2x2 xy y2 ,		D :	1 x 1,	0 y 2 .

170. z 10 x2 2xy ,	D : 0 y 4 x2 .
171–180. Даны функция	z f (x, y) , точка A x0 , y0 и вектор		. Найти: 1) наи-
		а

большую скорость возрастания функции в точке А; 2) скорость изменения

функции в точке А по направлению вектора а .

171.	z ln x2 3y2 ,			А(1, 1),
172.	z ln 5x2	4 y2 ,		А(1, 1),
173.	z 5x2 6xy ,			А(2, 1),
174.	z 3x2 y2 5xy2 ,			А(1, 1),
175.	z 3x4 2x2 y3 ,			А(-1, 2),
176.	z ln 3x2	4 y2 ,		А(1, 3),
	x2			А(1, 2),
177.	z arcsin		,

		y


а	3i 2 j .

а	2i	j .

а	i 2 j .

а	2i	j .

а	4i 3 j .

а	2i	j .

а	5i 12 j .

178.	z arctg xy2 ,	А(2, 3),
179.	z x2 xy y2 ,	А(1, 1),
180.	z 2x2 3xy y2 ,	А(2, 1),


а	4i	3 j .

а	2i	j .

а	3i 4 j .

181–190.	Задана пластина	неравенствами в декартовой системе		координат,
(x, y)	– плотность материала,		из которого изготовлена пластина. Найти
массу пластины.
181. x2 y2 4 , x y 2 ;		xy .	182. x2 y2 1, x2 y2 4 ;	x2 y2 .

183.

x2 y2

2 y ;

. 184. x2 y2 2x , x2

y2 4 ;

x2 y2 .

185.

x2 y2

4x ;

x .

186. x2 y2

4 ,

; y2 .

x2 y2

9 , 0 x y ; y x . 188. x2

187.

4 y ;

x2 y2 .

189.

x2 y2

16 ;

. 190. x2 y2

9 ;

3y2 .

25 x2

191–200. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на координатную плоскость ХОУ.

191.

z 0,

z x, y 4,

25 y2

192.

z 0,

z 9 y2 ,

x2 y2 =9.

193.

z 0,

z 4 x y,

x2 y2 4 .

194.

z 0,

z y2 ,

y2 9 .

195.

z 0,

z 1 y2 , x y2 ,

x 2 y2

196. z 0,

z 1 x

2 , y 0, y 3 x .

197.

z 0,

z x2 y2 ,

x2 y2 4 .

198. z 0, 4z y2 ,

2x y 0,

x y 9.

199.

z 0,

z y 2, x2

4 .

200.

z 0,

z 4

x 0,

x y 4 .

201–210. Найти поток векторного поля a через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, отсекаемой координатными плоскостями.

201.				Р : x y z 2 0 .
	a x z	i ,
202.				Р : 2x y 2z 2 0 .
	a x y 2z j ,
203.				Р : 2x y z 4 0 .
	a x y z k ,
204.				Р : x 2 y 2z 4 0 .
	a x 2 y z i ,
205.				Р : 2x 3y 2z 6 0 .
	a 3x 2 y 3z		j ,
206.				Р : 3x 2 y 3z 6 0 .
	a 2x 2 y 3z k ,
207.				Р : x 2 y z 6 0 .
	a x y z i ,
208.				Р : x y 2z 4 0 .
	a 3x 4 y 8z		j ,
209.				Р : x y 3z 3 0 .
	a 5x 2 y 6z k ,
210.				Р : x y 2z 4 0 .
	a x 3y 6z k ,

211–220. Найти поток векторного поля a : а) через внешнюю сторону замкнутой поверхности σ, образованной поверхностью S и плоскостью Р; б) через верхнюю сторону (в положительном направлении оси OZ) части плоскости Р, вырезаемой поверхностью S ; в) через внешнюю сторону части поверхности S , отсекаемой плоскостью Р.

211.			S : x2 y2 z2	z 0 ,	Р: z 4 .
	a yi x j k ,
			S : x2 y2 z2	z 0 ,
212.	a xzi yz j z2	1 k ,			Р: z 4 .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.20151.29 Mб183К-ПР-ЭМ.DOC
#
13.03.2016133.63 Кб16К.р. Архивоведение.doc
#
01.05.20256.14 Mб3к.р.Теплотехника.doc
#
01.07.2025467.97 Кб7К.р.Э КОНОМИКА ОБЩ. СЕКТОРА.doc
#
04.09.2019219.65 Кб9к.р2.doc
#
23.02.2015489.76 Кб25к/р по математики.pdf
#
23.02.2015133.19 Кб13К/Р №1 алгебра.pdf
#
23.02.2015167.45 Кб12К/Р №2 алгебра.pdf
#
23.02.2015195.08 Кб20К/Р №3 алгебра.pdf
#
23.02.20154.33 Mб16Кonakova_Belousova_Istomina_Jigalova.pdf
#
23.02.20151.57 Mб11К_З_заочн.pdf