22. Базис векторного пространства

Изоморфизмвекторныхпространств

На векторные пространства над полем F можно смотреть как на универсальные алгебры, сигнатура которых состоит из бинарной операции сложения векторов и унарных операций умножения на элементы поля F (по одной операции для всякого t F ). Это позволяет без специальных оговорок применять к векторным пространствам такие общеалгебраические понятия, как подалгебры и изоморфизмы (см. § 4). Подалгебрам векторного пространства (которые называются его подпространствами) посвящен следующий параграф. А в оставшейся части параграфа мы установим, что всякое n-мерное векторное пространство над полем F изоморфно пространству Fn . Чтобы облегчить восприятие этого материала, укажем явно, какой вид принимает определение изоморфизма применительно к векторным пространствам.

Определение

Векторные пространства V1 и V2 над одним и тем же полем F называются изоморфными, если существует биекция f из V1 на V2 (называемая изоморфизмом) такая, что для любых x1, x2 V1 и любого t F выполнены равенства

Теоремаобизоморфизме

Теорема об изоморфизме векторных пространств

Любое n-мерное векторное пространство V над полем F изоморфно пространству Fn .

Доказательство. Пусть a1, a2, . . . , an базис пространства V , b V , а (t1, t2, . . . , tn ) координаты вектора b в этом базисе. Определим отображение f из V в Fn правилом: f (b) = (t1, t2, . . . , tn ). Из единственности разложения вектора по базису вытекает, что отображение f инъективно. Сюръективность этого отображения очевидна: если

y = (s1 , s2 , . . . , sn ) Fn , то y = f (x), где x = s1 a1 + s2a2 + · · · + sn an . Наконец, выполнение равенств (4) вытекает из замечания о координатах суммы векторов и произведения вектора на скаляр. Таким образом, f изоморфизм из V на Fn .

§ 22. Базис векторного пространства

Теоремаобизоморфизме(комментарий)

Теорема об изоморфизме векторных пространств показывает, насколько важной характеристикой векторного пространства является его размерность. С точки зрения действия алгебраических операций размерность конечномерного векторного пространства однозначно определяет это пространство: для всякого n существует (с точностью до изоморфизма) лишь одно n-мерное векторное пространство над данным полем F пространство Fn . Этим и объясняется упоминавшаяся в предыдущем параграфе особая роль пространства Fn в линейной алгебре.

§ 22. Базис векторного пространства