44. Классификация квадрик на плоскости
.pdf
Доказательство
классификационной
теоремы:
шаг
3,
случай
1
(1)
Шаг 3. Дальнейшие рассмотрения естественно распадаются на два случая.
Случай 1: квадрика задается уравнением вида (10). Здесь возможны два подслучая.
Подслучай 1.1: C =6 0. В этом случае уравнение (10) можно переписать в виде
x2 |
y2 |
|
||
|
+ |
|
= 1. |
(14) |
−C /A |
−C /B |
|||
Предположим сначала, что числа − CA и − CB больше нуля. Введя
обозначения a = − C |
и b = |
− C |
, мы получаем уравнение |
x |
2 |
+ |
y |
2 |
= 1. |
a |
2 |
b |
2 |
||||||
A |
|
B |
|
|
|
|
|
Если a > b, оно является каноническим уравнением эллипса. В противном случае мы получим тот же результат, сделав замену неизвестных (13).
Пусть теперь числа − C |
и − C имеют разные знаки. Без ограничения |
|
|
||||||||||||
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
общности можно считать, что − C > 0 и − C < 0 (в противном случае |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A |
B |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
следует сделать замену неизвестных (13)). Введя обозначения a = − C |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
b = q |
BC |
, мы получим уравнение |
x 2 |
− |
y 2 |
= 1, т. е. каноническое уравнение |
|||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||||
гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 44. Классификация квадрик на плоскости
Доказательство
классификационной
теоремы:
шаг
3,
случай
1
(2)
Наконец, если числа − CA и − CB меньше нуля, то уравнение (14) не имеет решений, и потому его геометрическим образом является пустое множество.
Подслучай 1.2: C = 0. При таком C уравнение (10) можно переписать в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 0. |
|
|
|
|
(15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/A |
1/B |
|
|
|
||||||||
Если числа |
1 |
|
и |
1 |
имеют одинаковый знак, то уравнение (15) имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
A |
B |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
единственное решение: x = y = 0. Следовательно, его геометрическим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом является точка (начало координат). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пусть теперь числа |
1 |
|
|
и |
1 |
|
имеют разные знаки. Умножив, если |
|||||||||||||||||||||||||||
A |
B |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
потребуется, наше уравнение на −1, можно добиться выполнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
q |
|
1 |
|
|
||||||||||
неравенств |
1 |
|
> 0 и |
|
|
1 |
|
< 0. Введя обозначения a = |
|
и b = − |
, мы |
|||||||||||||||||||||||
|
|
B |
A |
B |
||||||||||||||||||||||||||||||
получим уравнение |
x |
− |
y |
= 0, которое можно переписать в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( x |
+ y )( x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y = 0 и |
|||||||||||
− y ) = 0. Оно задает совокупность прямых |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
− y |
b |
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
||||||||
x |
|
= 0. Очевидно, что главные векторы этих прямых,т. е. векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~n1 = ( a1 , − b1 ) и ~n2 = ( 1a , b1 ), не пропорциональны. Следовательно, наши прямые пересекаются (см. теорему о взаимном расположении прямых на плоскости в § 15). Итак, в рассматриваемом случае квадрика есть пара пересекающихся прямых. 
§ 44. Классификация квадрик на плоскости
Доказательство
классификационной
теоремы:
шаг
3,
случай
2
(1)
Случай 2: квадрика задается уравнением вида (12). Здесь также возможны два подслучая.
Подслучай 2.1: E =6 0. При таком E уравнение квадрики можно упростить, избавившись от свободного члена. Для этого перепишем уравнение (12) в виде
|
2 |
|
2E |
|
F |
2E |
x + |
F |
. |
||||
y |
|
= − |
|
x − |
|
= − |
|
|
|
|
|||
|
D |
D |
|
D |
2E |
||||||||
Сделаем замену неизвестных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x′ |
= x + |
|
F |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y′ |
= y |
|
2E |
, |
|
|
||||
которая соответствует параллельному переносу системы координат, при котором начало системы координат переходит в точку с координатами (− 2FE , 0). В новой системе координат квадрика имеет уравнение
(y′)2 = − 2DE · x′.
Полагая p = − DE , получаем уравнение (y′)2 = 2px′. Если p > 0, то оно является каноническим уравнением параболы. Если же p < 0, то мы придем к тому же результату после замены неизвестных
x′′ |
= −x′, |
|||||
y′′ |
= y′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
§ 44. Классификация квадрик на плоскости |
|||||
Доказательство
классификационной
теоремы:
шаг
3,
случай
2
(2)
Подслучай 2.2: E = 0. При таком E уравнение (12) можно переписать в виде
|
2 |
= − |
F |
(16) |
|
y |
|
|
. |
||
|
D |
||||
q
Если − DF > 0, то, полагая a = − DF , мы получаем уравнение y2 = a2 , геометрическим образом которого является пара параллельных прямых y = a и y = −a.
Если − DF = 0, то уравнение (16) имеет вид y2 = 0 и определяет пару совпавших прямых.
Наконец, если − DF < 0, то уравнение (16) не имеет решений, и потому его геометрическим образом является пустое множество.
Мы завершили разбор всех возможных случаев и подслучаев. Как видим,
впроцессе этого разбора возникли все восемь видов квадрик, упомянутых
вформулировке теоремы, и не возникло никаких других. Теорема
полностью доказана.
§ 44. Классификация квадрик на плоскости