Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

praktice algem

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Площадь треугольника

, построенного на тех же векторах

, , равна 12

пар ,

т.е. =

= 22,5 .

(

)

) Найти расстояние от точки

до

прямой ( ), проходящей через

точку

параллельно вектору = {2;1;2}.

Поместим

вектор

на

прямую

( ),

проходящую через точку

параллельно вектору

как на рис.10: =

. Рассмотрим параллелограмм,

построенный на векторах

( )

и =

. Расстояние

от точки

до прямой

есть длина высоты

Рис.10

параллелограмма, опущенной из точки

на сторону

. Площадь параллелограмма

равна

. Найдём координаты вектора

= {− 3;

;−6}, вектор = = {2;1;2}. Тогда

62 + 62 + 32 = 3

= 9.

4 + 4 +1

× =

2 1 2

= −6

+ 6

+ 3

−3 0 −6

Итак,

9 .

Из

геометрии

известно,

что

Вычислим

"#$

= 3 . Получим 3 = 9

=> = 3 (расстояние

от

точки

до

4+ 4+1

прямой ( )).

) Найти вектор

, зная, что он перпендикулярен векторам = {3;4;2},

= { ;2;1}, а скалярное произведение

= 12 , где = −2 − 3

− .

По условию задачи

, следовательно, вектор

параллелен

0 2 1

вектору

который

по

определению

векторного

произведения,

перпендикулярен%

перемножаемым векторам

. Тогда & = λ( × ).

Найдём вектор × :

× =

3 4 2

= −3

' ×( = { 0;−3; 6} .

( )

Координаты вектора

: & = λ( × )= { ;−3λ;6λ}. Кроме того, по условию задачи

= 12 . По(

формуле)

вычисления скалярного произведения векторов, заданных

координатами в ортонормированном базисе, получим( )

& = 0 (− 2)+ (− 3λ)(− 3)+ 6λ(−1)= 9λ − 6λ = 3λ ; 3λ = 12; λ = 4 .

Окончательно имеем вектор & = { ;−12;24}.

Сила ) = {2;2;9} приложена к точке (4; 2;−3) . Определить момент

этой силы относительно точки (3; 2;−1)

Известно,

что

момент

(

)

силы

приложенной

точке

.&* )

относительно

точки

, равен

Найдём координаты вектора

= {1; ;−2}.

Тогда

( )

= 1

−2

= 4 −13 + 2

Точка

(−1; 2;−3)

вращается

относительно ( ; ; 0) с постоянной

угловой скоростью =

−

+ 2

. Найти координаты вектора линейной скорости

точки .

Известно, что

= ×

где

−

радиус-вектор точки

−

линейная скорость точки .

Следовательно,

= {−1;2;−3}

= − + + .

−1

−3

Пусть

= 2,

= 5,

. Выразить

через

векторы

)

(

)

и образующий с ними

единичный вектор , перпендикулярный

векторам

правую тройку

Так как вектор

перпендикулярен векторам

(

)

, то он коллинеарен

векторному произведению этих векторов:

|| × , т.е. = λ( × .

По условию задачи

=1. Вычислим

= λ

sin

= λ 25sin π = λ 25 1 = 5 λ .

( )

Итак,

1= 5

Тройка

векторов

─

правая,

т.е.

↑↑ ×

(

)

следовательно, λ =

) Вычислить величину момента силы = 2

−

, приложенной к точке

, относительно точки , если =

, где

= 6,

= 3,

(

) (

()

)

Как известно, момент 0 ) силы(

(

)

(

)

приложенной к точке A, относительно точки

равен 0

= × (рис.11).

Величина момента 0 есть

, тогда

Рис:. 11

× 2

−

Вычислим ( + )× (2 − ), используя свойства векторного произведения:

( + )× (2 − )= 2 × − × + 2 × − × = − × − 2 × = −3 × , т.к.

(

)

= 0 .

Тогда

= −3

= 3

= 3 6 3 sin π

= 9 6 1

sin

= 27 .

Итак,

( )

= 27 .

()

Прямая

проходит через точку

параллельно вектору

= {−1;2;2}. Прямая

проходит через

точку

параллельно тому же

вектору. Найти расстояние между прямыми и .

Поскольку обе прямые параллельны одному и тому же вектору, то

прямые параллельны. Итак, задача состоит в определении кратчайшего

расстояния между параллельными прямыми. Один из способов решения этой

задачи состоит в вычислении длины высоты параллелограмма, две

параллельные стороны которого,

например,

лежат на

данных прямых и (рис.12).

, Рис. 127

Определим координаты вектора

= { ;4;2} (из координат конца

вычтем координаты начала

вектора). Известно, что

= = {−1;2;2}. Вычислим

× = 0

4 2 = 4 − 2 + 4 .

−1

Следовательно,

пар = × = 42 + (−2)2 + 42

16 + 4 +16 = 6 .

С другой стороны

пар =

. Так как

1+ 4 + 4 = 3, то

пар

= 2 .

= =

Итак, расстояние между прямыми и равно 2.

+) Найти вектор

, перпендикулярный векторам = −

− , = 2

+ ,

если проекция вектора

на ось , составляющую равные острые углы с осями

координат, равна 2

3 .

результате

векторного

умножения

вектора

на вектор

получается вектор, перпендикулярный векторам-сомножителям, следовательно

|| ×

координаты

искомого вектора

пропорциональны

координатам

векторного произведения

× .

(

Итак,

= 1

−1

−1 =

(

+ 2

; = {λ;−λ;2λ}.

−

По условию ось составляет равные углы с осями координат: α) = β = γ .

Тогда cosα = cos β = cosγ

и равенство cos2 α + cos2

β + cos2 γ = 1 даст 3cos2 α = 1.

Отсюда, cos2 α =

, cosα =

(

, но поскольку по условию углы – острые,

)

то

cosα = cos β = cosγ =

. Проекция

на

ось

совпадает

проекцией

на

единичный

вектор

оси

;

Тогда

пр	= ( , 0 )=	1	(λ − λ + 2λ) =	2	λ	. По условию задачи			2λ	= 2			. Следовательно,
		1										3


0		3		3					3
λ=3 и искомый вектор имеет координаты = {3;−3;6}.
) Вычислить ( , , ).
По определению смешанного произведения
			( , , )= ( × ) = − = − 2					= −1.


() Вычислить смешанное произведение (									− 3		).
() Вычислить смешанное произведение (							,	, 5	− 3		).

Смешанные произведения, содержащие два равных вектора, равны нулю. Поэтому

						)= 0.
( , , 5 − 3	)= ( , ,5	)+ ( ,	,−3	)= 5 ( , , )− 3	( , ,	)= 0.

Ответ задачи можно получить, используя условия компланарности векторов.

Действительно,

векторы

, ,5 − 3

компланарны,

т.к.

вектор

5 − 3

есть

линейная комбинация базисных векторов

плоскости. Известно, что, если

три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, т.е.

(

)= 0.

, 5

−

+) Вектор

перпендикулярен векторам

(

)

; векторы

(

)

образуют

левую тройку. Зная, что

= 6 ,

= 3,

3, угол между векторами

(

)

равен π

, вычислить смешанное произведение

Так как векторы

некомпланарны и образуют левую тройку, то

смешанное

произведение

( , , )= −

где

–

объём

параллелепипеда,

построенного на этих векторах. Из геометрии известно, что

, где

─ площадь основания параллелепипеда,

– его высота;

× (

(см.)

применение векторного произведения);

, т.к.

. Тогда

( sin) (

)

(

)

1 3 = 27 ,

sin

= 6 3

(

, ,

)= −27.

, если

) Вычислить смешанные произведения

известны

координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе:

= { 0;1;2},

= {1; 1;−1} ,

= {1; 2;−2}.

Используем формулу для вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе:

	1	2	3	=	0	1	2	= −1	1	−1	+ 2	1	1	= −1 (−2 +1)+ 2 (2 −1) = 1+ 2 = 3;
					0	1	2
=					1	1	−1
	1	2	3				−2		1	−2		1	2
	1	2	3		1	2
	1	2	3		1	2

По свойствам смешанного произведения		)(	= −	()	, откуда	)(	= −3 .
	2 3 −1

) Компланарны ли векторы ' = {1;0;1} , = {−1;−1;0}, = {2;3;−1}?

Известно, что если смешанное произведение трёх векторов равно нулю,

то векторы компланарны. Вычислим смешанное произведение векторов																																												(	,	)	,	:
				(				1	0			1									−1 0											−1 −1												(		)
								1	0			1					=1													+								=1+ (−3+ 2 =1−1= 0;
					, , )= −1 −1 0												=1													+								=1+ (−3+ 2 =1−1= 0;

																								3			−1					2				3
Т.к. (													,						,					компланарны.

		,		, )= 0 , то векторы								(				)
	(		)									(				)
) Лежат ли четыре точки																																													в одной
плоскости?
Если точки											лежат в одной плоскости, то в этой плоскости

лежат и векторы								, ,								.
Найдём координаты векторов																				= { ;									;−1},						= {1;1;−1},						= {−1;2;0}, вычислим
смешанное произведение этих векторов:
					(						)=					0				0					−1							1			1		= −1(2 +1) = −3 ≠ 0 ;
														1 1 −1													= −1					1			1
						,		,						1 1 −1													= −1					−1			2
														−1						2						0						−1			2
														−1						2						0
следовательно, векторы													,					,											не компланарны, т.е. не лежат в одной
плоскости, а значит и точки																				не лежат в одной плоскости.

				) Вычислить						объём										параллелепипеда,																			построенного				на векторах
' = { 0;−1;−1} , ( = {1; 1;−1}, = {−1; 0; 1}.
Известно, что										пар =													.
Вычислим							0	−1		−1		=1						1			−1					−1			1			1		= (1−1)−1(0 +1) = −1.


					=		1	1		−1
							−1 0			1							−1					1							−1			0
							−1 0			1
Следовательно, пар = 1.
				&) Даны вершины треугольной пирамиды:
Найти объём пирамиды и длину высоты пирамиды,																																										опущенной из
вершины .
					Известно,				что						пир					=		1				пар =					1		( , , )							.	Найдём		координаты
																						1									1

																						6						6
																						6						6
векторов:					= {2;−2;−3},							= {4; ;6},																		= {− 7;−7;7}.										Вычислим			смешанное
произведение этих векторов
																		−2				−3
												2						−2				−3
					( , , )=							4						0						6		= 2 42 + 2 (28+ 42)−3(−28) = 308.
												−7						−7						7

Тогда

пир

308

154

Высота

пирамиды

совпадает

высотой

параллелепипеда, построенного на тех же векторах

, ,

Поэтому =

пар

( , , )

осн

Найдём векторное произведение × :

× =

= −12 − 24

+ 8

−2

−3

Тогда

= 122 + 242 + 82 = 4 9 + 36 + 4 = 4 49 = 4 7 = 28

( , , )

308

=11.

Вычислить

проекцию

вектора

× на вектор

где

= {1;1;−2},

= {1;−1;1},

= {1;2;−2}.

( × )

( , ,

)

По

формуле

пр

найдём

пр ( × )=

, где

( , , )

– смешанное произведение векторов , , :

(

−2

(

−3

= 2 +1− 4 − 2 − 2 + 2 = −3 ;

1+ 4+ 4 = 3 => пр

= −1.

, ,

−1 1

−2

)

Заданы векторы

= {3;−2;1},

= {−1;1;−2},

= {2;1;−3},

= {11;−6;5}

своими координатами в некотором ортонормированном базисе трёхмерного

пространства

3 . Показать, что векторы , ,

составляют базис

3 и найти

координаты вектора в этом базисе.

По определению базиса пространства

3 векторы , ,

должны

быть некомпланарны, т.е. их смешанное%произведение отлично от нуля.

3 −2 1

−2

−1 −2

−1

−2

= 3

−3

+ 2

2 −3

= −3+14 − 3 = 8 ≠

−3

3 . Запишем разложение вектора по базису ,

Итак, , ,

образуют базис

, : = α1 + α2 +α3 .

Скаляры α1 , α2 , α3 и есть искомые координаты. Так как равные векторы в одном базисе имеют равные координаты, то для отыскания α1 , α2 , α3 получим систему:

11= 3α1 −α2 + 2α3,−6 = −2α1 +α2 +α3,5 = α1 − 2α2 − 3α3.

Найдём решение системы по формулам Крамера.

−1

;

11 −1

=16 ;

2 =

= −24;

−1

;

−2 −6 1

−2

1 1

= 8

−6

3 =

−2

−6

= 8

−2

−3

−2

−3

−2

16 ;

= −24 ;

α3 =

=1.

Итак, = 2

−3

+ .

) Даны векторы

= − + 3

= {− 2;2;1}. Найти проекцию вектора

= × на ось, образующую с осью абсцисс угол π , с осью ординат угол π , с

																			3						4
осью аппликат угол, больший π .
						2
		Единичный				вектор			,	направленный												по	заданной	оси,	имеет
координатами направляющие косинусы углов α =																			π			(с осью абсцисс), β = π				(с
осью ординат), γ (с осью аппликат).																			3						4
осью ординат), γ (с осью аппликат).
Известно,		что			cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1 .											Тогда							cos2 π + cos2 π + cos2 γ =1 ;
																							3	4
cos2 γ =1−	3	=	1	,	cosγ = ±	1	. Так как γ > π , то cosγ = −													1		. Следовательно,
cos2 γ =1−		=		,	cosγ = ±	2	. Так как γ > π , то cosγ = −															. Следовательно,
4		4				2						2							2

											1			2		1
									=			;			;−		.
									=		2	;		2	;−	2	.
											2			2		2
Для вычисления проекции вектора на вектор воспользуемся формулой

									пр		=					.
									пр		=					.

													( × )
							пр	=			=				1			=			,
															1
где ─ смешанное произведение векторов																			,			,	. Вычислим			по

формуле вычисления смешанного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе:

		1			−1	3					1	−1	3
		1			−1	3				1	1	−1	3		1		7 + 7 2
	=	−2		2		1			=	1	−2 2		1	=	1	(−2 − 2 + 2 −1− 6 2 − 6)= −	7 + 7 2	.
	=	−2		2		1			=		−2 2		1	=		(−2 − 2 + 2 −1− 6 2 − 6)= −		.
										2					2		2
		1/ 2			2 / 2 −1/ 2					2	1	2	−1		2		2
		1/ 2			2 / 2 −1/ 2						1	2	−1
				−7(1+			)

Получим пр			=			2		.

				2
				2

2. Аналитическая геометрия

Основные понятия и утверждения аналитической геометрии направлены на построение числовых аналогов геометрических объектов и изучение этих аналогов средствами алгебры. Для этого вводиться понятие уравнения линии

или

поверхности.

называют

уравнение,

которому удовлетворяют координаты всех точек линии (поверхности) и только

они.

Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат

может быть

задана уравнением одного из следующих видов:

Ax + By + Cz + D = 0 ─

плоскости;

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z

− z0 ) = 0

─

" #$ % & ' (

M0 (x0 , y0 , z0 )

# $

= (A, B,C))!

x + B y + C z + D

= 1 ─*+ ,-./.0/ 123453460 - 36+ /75,8;

9:32

/<=*

12 345346>

A x + B

y + C z + D

= 0

= 0 с

;

нормальными векторами

cosϕ =

Условие параллельности 12345346/?@

, или

ABCDEFG HGI HGJKFLMCNI JDBOF плоскостей

= 0 , или A1 A2

+ B1B2 + C1C2 = 0.

Расстояние от точки M0(x0, y0, z0)

до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

d =

Ax0 + By0 + Cz0

+ D

A2 + B 2 + C 2

PQ RS TQ U Получить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) .

Решение. Точка M (x, y, z)

принадлежит плоскости тогдаитолькотогда,когдавекторы

− y1, z3 − z1 )

M1M =

(x − x1, y − y1, z − z1), M1M2

(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), M1M3 = (x3 − x1, y3

компланарны

(рис.13).

Условие

компланарности

этих

векторов

= 0 , или в координатной форме

M1M

M1M2

M1M3

x − x1

y − y1

z − z1

= 0 .

x − x

− y

− z

x3 − x1

y3 − y1 z3 − z1

Это и есть искомое уравнение.

Рис.13

Замечание. Полученное уравнение однозначно определяет

плоскость при условии, что точки M1,M2,M3

не лежат на одной прямой, то есть

M1M 2 ||/

M1M 3

данной плоскости. Воспользуемся

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

PQ RS TQ

параллельноV плоскости 5x − 3y + 2z −10 = 0 . Решение. Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором

= (5;−3;2)

уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному

вектору :

5(x − 2) −3(y −3) + 2(z +1) = 0, или 5x − 3y + 2z +1 = 0.

M1 (2;3;−1)

Рис.14

PQ RS TQ		. Из точки P(2;3;5) на координатные
оси опущены					перпендикуляры.			Составить
уравнение плоскости, проходящей через их
основания.
Решение.				Основания			перпендикуляров,
опущенных на координатные оси, – точки P1 (2; ;0),
2 ( ;3;0),			P3 ( ; ;5).			Используем		уравнение

плоскости, проходящей через три точки:
	x − 2	y − 0		z − 0	= 0 , или 15x +10y + 6z − 30 = 0 .

	0 − 2	3− 0		0 − 0
	0 − 2	0 − 0		5− 0

Замечание.

Можно

также

воспользоваться

уравнением плоскости в отрезках:

= 1, или

Рис.15

15x +10y + 6z − 30 = 0 .

PQ RS TQ . Исследовать взаимное расположение плоскостей:

1)− x + 2y − z +1 = 0 и y + 3z −1 = 0 ; 2)2x − y − z +1 = 0 и − 4x + 2y + 2z − 2 = 0 .

Решение. 1). Нормальные векторы плоскостей

1 = (−1;2;−1)

2 = (0;1;3)

неколлинеарны,

следовательно,

плоскости

пересекаются

(рис.16).

Дополнительно определим угол ϕ между плоскостями:

cosϕ =

−1 0 + 2 1+ (−1) 3

−

ϕ = arccos

−

≈ 970 .

(

−1)

+ 2

+ (−1)

+1 +

2). Нормальные векторы плоскостей

= (2;−1;−1)

и 2 = (−4;2;2)

коллинеарны,

Рис.17

Рис.16	19

так как	2	=	−1	=	−1	, следовательно, плоскости параллельны (рис.17).
	− 4		2		2

Дополнительно определим расстояние между плоскостями. Оно равно

расстоянию от произвольной точки M1

первой плоскости до второй плоскости.

Для отыскания точки M1

положим x1 = 0, z1 = 0

и подставим в уравнение первой

плоскости: 2 0 − y1 − 0 +1 = 0, откуда y1

= 1, M1 (

;1;0). Расстояние от M1

до второй

плоскости:

d =

− 4 0 + 2 1+ 2 0 − 2

= 0 .

(− 4)2 + 22 + 22

Таким образом, плоскости совпадают.

S T RT То, что уравнения 2x − y − z +1 = 0

и − 4x + 2y + 2z − 2 = 0

задают одну

плоскость,

определяется

пропорциональностью

их

коэффициентов:

−1

− 4

− 2

1. Получить

уравнениеPQ RS TQплоскости,S проходящейT черезQ T T точкиR

M1 (x1; y1; z1)

M2 (x2; y2; z2 )

параллельно вектору a = (p,q,r).

Ответ:

x − x1

y − y1

z − z1

= 0.

− x

− y

− z

2. Получить

уравнение

плоскости,

проходящей через

точку

M1 (x1; y1; z1)

параллельно векторам a1 = ( p1,q1,r1)

и a2 = ( p2,q2,r2 ) .

	Ответ:				x − x	y − y	z − z	= 0 .
	Ответ:				p 1	q 1	r 1	= 0 .
					1	1	1
					p2	q2	r2
3.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки					A( ;1;1)	и B(2; ;1)
перпендикулярно плоскости 2x − y + z +1 = 0.
					Ответ: x + 2y − 2 = 0.
4.	Из точки A(2;1;−3) на координатные плоскости опущены перпендикуляры.
Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.
			Ответ: −3x − 6y + 2z +12 = 0 .
5.	Исследовать взаимное расположение плоскостей:
	а)2x − y + z −1 = 0 и − 4x + 2y − 2z −1 = 0; б) x − y +1 = 0 и y − z +1 = 0.
	Ответ: а)параллельны, d =	3		; б)пересекаются, ϕ =1200 .
	Ответ: а)параллельны, d =			; б)пересекаются, ϕ =1200 .
	2		6

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1;7;−5) и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.

Ответ: x + y + z − 3 = 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015836.08 Кб11Practical Test-driven Development Presentation.pdf
#
23.02.20152.17 Mб35practice.pdf
#
23.02.20151.66 Mб22practice.pdf
#
18.11.2018724.99 Кб177Practikum_analit.doc
#
12.11.20181.34 Mб19prak1.doc
#
23.02.20151.19 Mб56praktice algem.pdf
#
21.08.20196.55 Mб86Prakticheskaya_rabota_po_geografii.docx
#
01.07.202594.84 Кб9Prakticheskie_zadachi_tsenoobrazovanie.docx
#
20.11.201948.87 Кб24PRAKTIChESKIE_ZADANIYa.docx
#
26.09.20192.27 Mб40Prakticheskoe_posobie_po_kursu_FinMen.doc
#
14.08.201994.72 Кб32Prakticheskoe_zadanie_TO_i_M.doc