03_05_Сл_вел_Часть_2_2005
.pdfСлучайные величины |
37 |
ОМедиана Мeх случайной величиныэто такое значение случайной величины, для
которого P{X < xm}= P{X > xm}= 12 . Медиана является характеристикой непрерывных случайных величин. Геометрически медианаэто точка на оси 0x для которой площади под графиком плотности распределения, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 12 .
! Если плотность распределения симметрична относительно прямой x = a и распределение одномодально, то матожидание, медиана и мода совпадают между собой,
M(x) = Mex = Мoх.
В приложениях часто используются квантили различных распределений.
ОКвантилью уровня p qp случайной величины X называется решение уравнения F (qp )= p , где F (x) – функция распределения случайной величины X, p – некоторое число, 0 < p <1.
!Медиана распределения является квантилью уровня 0,5: Mex = q0,5 .
3.4.4. Моменты случайных величин
Кроме характеристик положения случайных величин в теории вероятностей используют другие числовые характеристики – начальные и централь-
ные моменты.
ОНачальным моментом s-ого порядка случайной величины Х называет-
ся число αs (X ), равное математическому ожиданию случайной величи-
ны: Xs:αs (X )= M (X s ).
n |
|
Если Х - дискретная случайная величина, то αs (X )= ∑xis pi , где |
xi - |
i=1 |
|
значения, которые принимает случайная величина Х, pi - соответствую-
щие вероятности.
∞
Если Х – непрерывная случайная величина, то αs (X )= ∫ xs f (x)dx , где
−∞
ƒ(х) – плотность распределения.
Если положить s =1, то первый начальный момент
n |
∞ |
α1 (X )= ∑xi pi , |
α1 (X )= ∫ xf (x)dx |
i=1 |
−∞ |
38 |
Лекции 3-5 |
|
|
|
есть математическое ожидание случайной величины Х, таким образом |
|
|
mx =α1 (X ). |
|
|
ο |
|
О |
|
|
Центрированной случайной величиной X называется отклонение |
|
|
|
ο |
|
|
случайной величины от ее математического ожидания: X = X −mx . |
!Центрирование случайной величины означает перенос начала коор-
динат в точку mx .
ОЦентральными моментами называются моменты центрированной случайной величины, (аналог моментов относительно центра массы в механике).
ОЦентральным моментом порядка s случайной величины Х называется
ο s |
s |
). |
|
|
|
|
величина µs (X )= M X |
= M ((X − mx ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
s |
Если Х – дискретная случайная величина, то |
µs |
= ∑(xi −mx ) pi ; |
||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
если Х – непрерывная случайная величина, то |
µs |
= ∞∫(x −mx ) f (x)dx . |
−∞
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, иногда используют так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые как
|
s |
(X )= M |
( |
|
s |
) |
|
|
s |
|
|
ο |
|
s |
( |
|
|
x |
|
s |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
β |
X |
, |
ν |
|
|
X |
|
|
|
X |
− m |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
(X )= M |
|
|
|
= M |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Связь между начальными и центральными моментами |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если положить S=1, то центральный момент 1-ого порядка |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
µ = M |
X = M (X −m )= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ο |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй центральный момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ο 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
µ2 = M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
X |
|
= ∑(xi − mx ) pi = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi2 pi − 2mx ∑xi pi + mx2 ∑pi =α2 − 2mx2 + mx2 =α2 − mx2 , |
|
|||||||||||||||||||||||
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. α2 = M (X 2 ), то второй центральный момент µ2 = M (X 2 )−(M (X ))2 есть
дисперсия случайной величины. Для непрерывной случайной величины
Случайные величины |
|
|
39 |
|
|
|
2 |
|
|
|
µ2 = Dx = ∞∫(x − mx ) f (x)dx = |
|
|
|
−∞ |
= ∞∫ x2 f (x)dx − 2 ∞∫ xmx f (x)dx + ∞∫ mx2 f (x)dx = =α2 − 2mxmx + mx2 =α2 − mx2 . |
|||
−∞ |
|
−∞ |
−∞ |
Аналогично для центрального момента 3-го порядка (формула куба раз- |
|||
ности), имеем |
|
|
|
D |
|
n |
− mx )3 pi =α3 −3α2mx + 2mx3 и т.д. для µ4 ,µ5 ... |
µ3 = M X 3 |
|
= ∑( xi |
|
|
|
i=1 |
|
В теории вероятностей из числовых характеристик чаще всего применяется математическое ожидание mx , дисперсия Dx или среднеквадратическое
отклонение σx . Они характеризуют самые важные черты распределения, его
3σx |
3σx |
mx
положение и степень разбросанности.
Если необходимо узнать диапазон возможных значений случайных величин, можно воспользоваться «правилом трех сигм» (доказательство дальше). Это правило гласит: Значения случайной величины Х практически не выходят за пределы интервала mx ±3σx .
Для более детального описания распределения служат моменты высших порядков.
Если многоугольник распределения дискретной случайной величины или плотность распределения непрерывной случайной величины симметричны относительно прямой x = mx , т.е. если распределение вероятностей слу-
чайной величины симметрично относительно математического ожидания случайной величины, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю:
|
|
µ2s+1 = 0, s =1,2,... . |
Действительно, |
при симметричном распределении и нечетном s |
|
n |
s |
|
µs = ∑(xi − mx ) pi - |
число положительных слагаемых в сумме равно числу |
i=1
отрицательных слагаемых (слагаемые равны по абсолютной величине) и они взаимно уничтожаются. (Для непрерывной случайной величины имеем интеграл, от нечетной функции в симметричных пределах, равный нулю).
В качестве характеристики асимметрии распределения выбран центральный момент 3-го порядка-µ3.
40 |
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
µ3 |
|
|
0 |
3 |
=α3 |
−3α2mx |
+ 2mx3 , |
|
= M |
|
X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
размерность которого [X ]3 . Для удобства используют безразмерную величину – ко-
эффициент асимметрии As = Sk = µ3 (от
σx3
английского skew – косой).
На рисунке имеем две асимметричных кривых распределения. I) – кривая с положительной асимметрией, As > 0 , II) – с отрицательной асимметрией, As < 0 .
В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью (определение которой будет дано позже) используют понятие эксцесса, т.е. характеристикой островершинности или плосковершинности распределения является четвертый центральный момент - µ4, эксцесс
ε |
x |
= |
µ4 |
−3 . |
|
|
|||||
|
|
σ |
4 |
|
|
Число 3 связано |
с |
x |
часто встречающимся |
||
|
нормальным распределением, для него эксцесс
εx = 0 , σµ44 = 3 .
x
Для кривых распределения, имеющих более острую вершину, чем нормальные, эксцесс положителен, для более плосковершинных – отрицателен (см. рисунок).
Характеристика εх служит в основном для симметричных распределений.
Пример:
В предыдущей лекции рассматривались 2 независимо работающих блока. Вероятность безотказной работы первого и второго p1=0,4, p2=0,7.
Были найдены числовые характеристики случайной величины X – числа работающих блоков: математическое ожидание mx=1,1 и дисперсия Dx=0,45,
среднеквадратическое отклонение σx = |
0,45 = 0,67 . |
|||
Третий центральный момент |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
µ3 =∑(xi −mx ) pi =(0−1,1)3 0,18+(1−1,1)3 0,54+(2−1,1)3 0,28 =0,1595, |
||||
i=1 |
|
0,1595 |
|
|
коэффициент асимметрии As = |
|
> 0 , т.е. ряд распределения имеет по- |
||
(0,67)3 |
|
|||
|
|
|
|
ложительную асимметрию.
Случайные величины |
41 |
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непрерывная случайная величина Х распределена по закону Лапласа |
|||||||||||||||||||||||||
|
f (x)= |
1 e− |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от- |
|||||||||||||||||||||||||
|
клонение, асимметрию и эксцесс случайной вели- |
|||||||||||||||||||||||||
|
чины Х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
mx = |
x |
|
|
e |
|
|
|
dx = 0 , т.к. |
интеграл в |
симмет- |
|
|
|||||||||||||
|
−∞∫ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ричных пределах от нечетной функции равен ну- |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
лю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∞ 1 x2 e− |
|
|
|
|
dx = 2 1 ∞ x2 e−xdx = 2 ; |
|
|
|||||||
|
Дисперсия: |
|
|
|
|
|
D |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
−∞∫ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
среднее квадратическое отклонение σx |
= 2 ; коэффициент асимметрии |
||||||||||||||||||||||||
|
Sk=0, т.к. распределение симметрично относительно математического ожи- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1 |
4 |
|
|
|
−x |
|
µ4 |
|
|
|
|||
|
дания. Эксцесс: |
|
|
µ4 = 2∫0 2 x |
|
|
|
e |
|
dx = 24 ; εx |
= |
|
−3 = 3 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σx4 |
4.1.Основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики
Вернемся к ранее рассмотренным распределениям – биномиальному и пуассоновскому и найдем их числовые характеристики, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения.
4.1.1. Биномиальное распределение
Ряд распределения случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону, имеет вид:
X |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
n |
p |
qn |
Cn1 pqn−1 |
Cn2 p2qn−2 |
… |
Cnk pk qn−k |
… |
pn |
Используя формулу бинома Ньютона, можно убедиться, что сумма всех
n
вероятностей равна 1: ∑Cnm pmqn−m =(p + q)n =1.
m=0
Чтобы найти числовые характеристики с.в. X , введем новую с.в. Xi – индикатор события A ( i =1,2,...,n ). Она может принимать два значения: Xi =1, если в i-м испытании событие A произошло и Xi = 0 , если событие в
n
в i-м опыте не наступило. Исходная случайная величина X = ∑Xi . Ряд рас-
i=1
пределения с.в. Xi
42 |
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
p |
|
q |
p |
|
|
Математическое ожидание M (Xi )= p . |
|
|
|
||||
Дисперсия D (Xi )= M ((Xi )2 )−(M (Xi ))2 |
= p − p2 |
= pq . |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем характеристики X = ∑Xi , учитывая независимость величин Xi : |
|||||||
i=1 |
|
|
|
|
∑M (Xi )= np , |
||
M (X )= M ∑Xi = |
|||||||
|
|
n |
|
n |
|
||
D (X )= D ∑Xi |
i=1 |
|
i=1 |
σ (X ) = npq . |
|||
= ∑D |
(Xi |
)= npq , |
|||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
Найдем математическое ожидание и дисперсию относительной частоты по-
явления события A: |
m |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
X |
|
1 |
M (X )= |
|||
M |
|
|
= |
n |
|||
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
X
n
p ,
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
D (X )= |
npq |
|
pq |
|
X |
|
pq |
|
||||
D |
|
|
= |
|
|
|
2 |
= |
|
, σ |
|
|
= |
|
. |
|
|
n |
2 |
n |
n |
|
n |
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Полученный результат показывает обоснованность статистического опреде-
ления вероятности – среднее значение относительной частоты mn = p – веро-
ятности появления события в однократном испытании, а дисперсия, т. е., разброс значений вокруг среднего, уменьшается по мере роста n .
4.1.2. Распределение Пуассона
Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, принимает значения k = 0,1,2,... с вероятностями
P (X = k )= λk!k e−λ .
Число λ > 0 – параметр распределения, смысл которого будет уточнен при вычислении числовых характеристик распределения.
Легко убедиться, что сумма всех вероятностей
∞ |
|
|
|
|
|
|
∑P (X = k )=1: |
|
|
|
|||
k =0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
∞ |
|
k |
=e−λeλ =1. |
∑λ |
|
e−λ = e−λ ∑λ |
|
|||
k =0 |
k! |
k =0 |
k! |
|
Случайные величины |
43 |
Найдем математическое ожидание с.в., распределенной по закону Пуассона.
∞ |
λ |
k |
∞ |
λ |
k |
|
|
∞ |
λ |
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M (X )= ∑k |
|
e−λ = e−λ ∑ |
|
|
|
|
= e−λλ∑ |
|
|
= |
|
|
|
k −1 = m |
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k =0 |
k! |
k =1 (k −1)! |
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∞ |
λ |
m |
= λe−λeλ = λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= λe−λ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m=0 |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, параметр распределения Пуассона λ – среднее количество событий за определенный промежуток времени (средняя интенсивность потока). Найдем дисперсию:
D (X )= M (X 2 )−(M (X ))2 = ∑k2 λ |
|
e−λ −λ2 = e−λ ∑(k −1 +1)λ |
−λ2 |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
|
|
|
∞ |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
k! |
|
|
|
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
||
|
|
∞ (k −1)λk |
∞ |
λk |
|
|
|
|
|
|
∞ |
λk |
∞ |
λk |
|
|
|
||||||||
= e−λ |
|
∑k =1 (k −1)! + ∑k =1 |
|
|
−λ2 |
= e− |
λ |
∑k =2 |
|
+ ∑k =1 |
|
−λ2 |
= |
|
|||||||||||
(k −1)! |
(k −2)! |
(k −1)! |
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
k −1 = m |
|
|
|
= e−λ |
|
∞ |
λn |
|
|
∞ |
λm |
−λ2 = e−λ (λ2 +λ)eλ −λ2 = λ , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
k −2 = n |
|
|
|
λ2 |
∑ |
n! |
+λ∑ |
m! |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсия также равна параметру распределения. Этим свойством пользуются при проверке гипотезы, что неизвестная с.в. распределена по закону Пуассона: если оценки математического ожидания и дисперсии, полученные на основании опытных данных, близки между собой, то есть основания считать, что исследуемая с.в. распределена по закону Пуассона.
Значения вероятностей обычно находятся по таблицам.
Пример:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что после 200 выстрелов цель будет поражена?
Решение:
Воспользуемся формулой Пуассона. Событие А = {цель поражена} является сложным (цель поражена одним выстрелом, цель поражена двумя выстрела-
ми, и т.д.). Рассмотрим противоположное событие A = {цель не поражена}, его вероятность легко находится: параметр λ = np = 2 ,
P (A)= P200 (0)≈ 200! e−2 ≈ 0,135 . P (A)=1− P (A)≈ 0,865 .
4.1.3. Равномерное распределение
Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность ƒ(х) на этом участке постоянна
|
0, |
при x < a, и x > b, |
||
f (x) = |
|
1 |
|
|
|
|
, при a < x < b. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b - a |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
|
Вероятность попадания случайной величины Х на любую часть участка, |
||||||||||||||||||||||
например, участка (α,β) |
P{α < X < β } = |
β −α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим функцию распределения F(x): F( x ) = P{ X < x } = ∫x |
f ( x )dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
x<a, |
ƒ(x)=0, F(x)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a<x<b, |
f ( x ) = |
|
|
1 |
|
, F( x ) = ∫x |
1 |
|
dx = ∫a |
0 dx + ∫x |
|
1 |
|
dx = |
x − a |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
b |
− a |
|
−∞ b − a |
|
|
−∞ |
|
a b − a |
|
|
|
b − a |
|||||||
x>b, |
F(x) = ∫a |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx + ∫x |
f (x)dx = ∫b |
dx |
= b − a |
=1. |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
a b − a |
|
b − a |
|
|
|
График функции распределения:
0, при x < a,
F(x) = x - a , при a < x < b,b - a
1, при x>b.
Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:
|
|
mx = |
|
∞ |
xf ( x )dx = |
b xdx |
|
|
= |
|
|
x2 |
|
|
|
b |
= |
b2 − a2 |
|
= |
b + a |
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∫ |
∫b |
− a |
2( b − a ) |
|
2( b − a ) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
дисперсию |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + a |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
b + a |
2 |
dx |
|
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
(b − a) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Dx = ∫(x − mx ) f (x)dx = = ∫ x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
b − a |
|
3(b − a) |
|
|
|
|
|
|
12 |
|||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднеквадратическое |
отклонение |
|
|
σ |
x |
= D |
x |
|
= b − a . Мода y |
|
равномерного |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
распределения отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Медиана (из соображений симметрии) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
mx = a +b |
= Mex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соображений симметрии µ3 = 0, |
коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
асимметрии Sk=0, |
|
|
a +b 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
( b − a )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
µ4 |
= |
|
|
|
|
|
∫a |
x − |
|
dx = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
b |
− a |
2 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные величины |
45 |
эксцесс εx = µ4 −3 = −1,2 ; эксцесс отрицателен.
σx4
Пример:
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения случайной величины Т – времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение:
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ( x ) = |
= 1 |
(0<x<2); |
m |
x |
= |
∫ |
x 1 dx = |
|
|
|
=1 , |
D = |
( 2 −0 ) |
= |
4 |
= |
1 |
, |
||
|
2 −0 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
x |
12 |
12 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx = 33 .
4.1.4.Показательное распределение
Случайная величина Х имеет показательное
(экспоненциальное) распределение, если
λe−λx , x ≥ 0, f (x) =
0, x < 0.
λ>0 называется параметром распределе-
ниОшибка! Закладка не определена.я.
Функция распределения F(x): F( x ) = ∫x |
f ( x )dx . |
||
|
|
−∞ |
|
|
x<0, F(x)=0. |
|
|
x>0, F(x) = ∫x |
f (x)dx = ∫0 |
f (x)dx +∫x |
f (x)dx = |
−∞ |
−∞ |
0 |
|
λ∫x e−λxdx = − |
λλ ∫x e−λxd(−λ |
||
0 |
0 |
|
|
|
|
−λx |
|
Таким образом, F(x) = 1 −e |
|
, x > |
|
|
0, x < 0. |
x) = −e−λx |
|
x |
= −e−λx + e0 =1 −e−λx . |
|
|||
0, |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
Числовые характеристики показательного распределения
Математическое ожидание показательного распределения
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
|
λ |
|
|
∫ |
|
∫ |
|
∫ |
|
||
mx = |
|
xf (x)dx = |
|
xλe−λxdx = λ |
|
xe−λxdx = |
1 |
; |
−∞ |
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(для вычисления интеграла интегрируем по частям). Дисперсия
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 3-5 |
|
|
|
∞ |
(x − m )2 |
f ( x )dx = ∞ |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
= |
( x − |
|
) λe−λxdx = |
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
2 |
|
−λx |
|
∞ |
|
x |
|
|
−λx |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
−λx |
|
|
|
1 |
|
|
||||
= ∫ |
λx |
e |
|
dx − ∫ |
2 |
|
λe |
|
|
dx + ∫ |
|
λe |
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||||||||
|
λ |
|
|
λ2 |
|
|
λ2 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Среднеквадратическое отклонение: |
σ |
x |
= |
, т.е. m |
x |
=σ |
x |
= |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
Вычислим асимметрию показательного распределения, для этого:
|
|
|
|
∞ |
|
1 3 |
−λx |
|
2 |
|
|||
µ3 = ∫0 x − |
|
λe |
|
dx = |
|
. |
|||||||
λ |
|
λ3 |
|||||||||||
Коэффициент асимметрии S |
k |
= |
|
µ3 |
|
= 2 > 0 , что и следовало ожидать. |
|||||||
σ3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока.
f ( t ) = λe−λt , t ≥ 0 . |
|
|
|
t |
Найдем функцию распределения F (t)= P (T < t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Чтобы выполнялось неравенство T <t , нужно, |
0 |
T |
чтобы хотя бы одно событие потока попало на
участок длины t. Вероятность этого события описывает пуассоновское рас-
пределение: Pm = (λt)m e−λt . Вычислим вероятность противоположного собы- m!
тия T ≥ t : (m=0) P0 = e−λt ; P(T <t )=1 − P0 =1−e−λt , откуда F( t ) =1 −e−λt .
Дифференцируя, получаем: f ( t ) = F′( t ) = λe−λt - показательное распределение.
4.1.5. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальное распределение занимает в математике особое положение в силу своей важности.
|
|
|
1 |
e− |
(x−m)2 |
|
Плотность распределения: |
f ( x ) = |
|
2σ2 , |
|||
σ |
2π |
|||||
|
|
|
|
где m,σ - параметры распределения.
Кривая распределения: максимум достигается при x=m.Мода Mox=m.
Математическое ожидание:
∞ |
1 |
∞ |
(x−m)2 |
|
mx = ∫ xf (x)dx = |
∫ xe− |
2σ2 dx =... |
||
σ 2π |
||||
−∞ |
−∞ |
|