03_05_Сл_вел_Часть_2_2005

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Плотность распределения:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

461 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Случайные величины

ОМедиана Мeх случайной величиныэто такое значение случайной величины, для

которого P{X < xm}= P{X > xm}= 12 . Медиана является характеристикой непрерывных случайных величин. Геометрически медианаэто точка на оси 0x для которой площади под графиком плотности распределения, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 12 .

! Если плотность распределения симметрична относительно прямой x = a и распределение одномодально, то матожидание, медиана и мода совпадают между собой,

M(x) = Mex = Мoх.

В приложениях часто используются квантили различных распределений.

ОКвантилью уровня p qp случайной величины X называется решение уравнения F (qp )= p , где F (x) – функция распределения случайной величины X, p – некоторое число, 0 < p <1.

!Медиана распределения является квантилью уровня 0,5: Mex = q0,5 .

3.4.4. Моменты случайных величин

Кроме характеристик положения случайных величин в теории вероятностей используют другие числовые характеристики – начальные и централь-

ные моменты.

ОНачальным моментом s-ого порядка случайной величины Х называет-

ся число αs (X ), равное математическому ожиданию случайной величи-

ны: Xs:αs (X )= M (X s ).

n
Если Х - дискретная случайная величина, то αs (X )= ∑xis pi , где	xi -
i=1

значения, которые принимает случайная величина Х, pi - соответствую-

щие вероятности.

∞

Если Х – непрерывная случайная величина, то αs (X )= ∫ xs f (x)dx , где

−∞

ƒ(х) – плотность распределения.

Если положить s =1, то первый начальный момент

n	∞
α1 (X )= ∑xi pi ,	α1 (X )= ∫ xf (x)dx
i=1	−∞

38		Лекции 3-5
		есть математическое ожидание случайной величины Х, таким образом
		mx =α1 (X ).
		ο
	О	ο
	О	Центрированной случайной величиной X называется отклонение
		ο
		случайной величины от ее математического ожидания: X = X −mx .

!Центрирование случайной величины означает перенос начала коор-

динат в точку mx .

ОЦентральными моментами называются моменты центрированной случайной величины, (аналог моментов относительно центра массы в механике).

ОЦентральным моментом порядка s случайной величины Х называется

ο s		s	).
величина µs (X )= M X	= M ((X − mx )		).

					n	s
Если Х – дискретная случайная величина, то				µs	= ∑(xi −mx ) pi ;
					i=1
						s
если Х – непрерывная случайная величина, то				µs	= ∞∫(x −mx ) f (x)dx .

−∞

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, иногда используют так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые как

(X )= M

(

)

(

)

− m

(X )= M

= M

Связь между начальными и центральными моментами

Если положить S=1, то центральный момент 1-ого порядка

µ = M

X = M (X −m )= 0 .

Второй центральный момент

ο 2

µ2 = M

= ∑(xi − mx ) pi =

i=1

∑xi2 pi − 2mx ∑xi pi + mx2 ∑pi =α2 − 2mx2 + mx2 =α2 − mx2 ,

i=1

т.к. α2 = M (X 2 ), то второй центральный момент µ2 = M (X 2 )−(M (X ))2 есть

дисперсия случайной величины. Для непрерывной случайной величины

Случайные величины		39
		2
		µ2 = Dx = ∞∫(x − mx ) f (x)dx =
		−∞
= ∞∫ x2 f (x)dx − 2 ∞∫ xmx f (x)dx + ∞∫ mx2 f (x)dx = =α2 − 2mxmx + mx2 =α2 − mx2 .
−∞	−∞	−∞
Аналогично для центрального момента 3-го порядка (формула куба раз-
ности), имеем
D	n	− mx )3 pi =α3 −3α2mx + 2mx3 и т.д. для µ4 ,µ5 ...
µ3 = M X 3	= ∑( xi	− mx )3 pi =α3 −3α2mx + 2mx3 и т.д. для µ4 ,µ5 ...
	i=1

В теории вероятностей из числовых характеристик чаще всего применяется математическое ожидание mx , дисперсия Dx или среднеквадратическое

отклонение σx . Они характеризуют самые важные черты распределения, его

3σx

положение и степень разбросанности.

Если необходимо узнать диапазон возможных значений случайных величин, можно воспользоваться «правилом трех сигм» (доказательство дальше). Это правило гласит: Значения случайной величины Х практически не выходят за пределы интервала mx ±3σx .

Для более детального описания распределения служат моменты высших порядков.

Если многоугольник распределения дискретной случайной величины или плотность распределения непрерывной случайной величины симметричны относительно прямой x = mx , т.е. если распределение вероятностей слу-

чайной величины симметрично относительно математического ожидания случайной величины, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю:

		µ2s+1 = 0, s =1,2,... .
Действительно,		при симметричном распределении и нечетном s
n	s
µs = ∑(xi − mx ) pi -		число положительных слагаемых в сумме равно числу

i=1

отрицательных слагаемых (слагаемые равны по абсолютной величине) и они взаимно уничтожаются. (Для непрерывной случайной величины имеем интеграл, от нечетной функции в симметричных пределах, равный нулю).

В качестве характеристики асимметрии распределения выбран центральный момент 3-го порядка-µ3.

40						Лекции 3-5
µ3		0	3	=α3	−3α2mx	+ 2mx3 ,
µ3	= M	X		=α3	−3α2mx	+ 2mx3 ,

размерность которого [X ]3 . Для удобства используют безразмерную величину – ко-

эффициент асимметрии As = Sk = µ3 (от

σx3

английского skew – косой).

На рисунке имеем две асимметричных кривых распределения. I) – кривая с положительной асимметрией, As > 0 , II) – с отрицательной асимметрией, As < 0 .

В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью (определение которой будет дано позже) используют понятие эксцесса, т.е. характеристикой островершинности или плосковершинности распределения является четвертый центральный момент - µ4, эксцесс

ε	x	=	µ4		−3 .

			σ	4
Число 3 связано			с	x	часто встречающимся

нормальным распределением, для него эксцесс

εx = 0 , σµ44 = 3 .

Для кривых распределения, имеющих более острую вершину, чем нормальные, эксцесс положителен, для более плосковершинных – отрицателен (см. рисунок).

Характеристика εх служит в основном для симметричных распределений.

Пример:

В предыдущей лекции рассматривались 2 независимо работающих блока. Вероятность безотказной работы первого и второго p1=0,4, p2=0,7.

Были найдены числовые характеристики случайной величины X – числа работающих блоков: математическое ожидание mx=1,1 и дисперсия Dx=0,45,

среднеквадратическое отклонение σx =			0,45 = 0,67 .
Третий центральный момент
3	3
µ3 =∑(xi −mx ) pi =(0−1,1)3 0,18+(1−1,1)3 0,54+(2−1,1)3 0,28 =0,1595,
i=1		0,1595
коэффициент асимметрии As =		0,1595	> 0 , т.е. ряд распределения имеет по-
коэффициент асимметрии As =		(0,67)3	> 0 , т.е. ряд распределения имеет по-
		(0,67)3

ложительную асимметрию.

Случайные величины

Пример:

Непрерывная случайная величина Х распределена по закону Лапласа

f (x)=

1 e−

Найти: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-

клонение, асимметрию и эксцесс случайной вели-

чины Х.

Решение:

∞

−

mx =

dx = 0 , т.к.

интеграл в

симмет-

−∞∫

ричных пределах от нечетной функции равен ну-

лю.

= ∞ 1 x2 e−

dx = 2 1 ∞ x2 e−xdx = 2 ;

Дисперсия:

−∞∫ 2

2 ∫0

среднее квадратическое отклонение σx

= 2 ; коэффициент асимметрии

Sk=0, т.к. распределение симметрично относительно математического ожи-

∞ 1

−x

µ4

дания. Эксцесс:

µ4 = 2∫0 2 x

dx = 24 ; εx

−3 = 3 .

σx4

4.1.Основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

Вернемся к ранее рассмотренным распределениям – биномиальному и пуассоновскому и найдем их числовые характеристики, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся непрерывные распределения.

4.1.1. Биномиальное распределение

Ряд распределения случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону, имеет вид:

X	0	1	2	…	k	…	n
p	qn	Cn1 pqn−1	Cn2 p2qn−2	…	Cnk pk qn−k	…	pn

Используя формулу бинома Ньютона, можно убедиться, что сумма всех

вероятностей равна 1: ∑Cnm pmqn−m =(p + q)n =1.

m=0

Чтобы найти числовые характеристики с.в. X , введем новую с.в. Xi – индикатор события A ( i =1,2,...,n ). Она может принимать два значения: Xi =1, если в i-м испытании событие A произошло и Xi = 0 , если событие в

в i-м опыте не наступило. Исходная случайная величина X = ∑Xi . Ряд рас-

i=1

пределения с.в. Xi

42					Лекции 3-5

		Xi	0	1
		p	q	p
Математическое ожидание M (Xi )= p .
Дисперсия D (Xi )= M ((Xi )2 )−(M (Xi ))2				= p − p2	= pq .
n
Найдем характеристики X = ∑Xi , учитывая независимость величин Xi :
i=1				∑M (Xi )= np ,
M (X )= M ∑Xi =				∑M (Xi )= np ,
		n		n
D (X )= D ∑Xi	i=1			i=1	σ (X ) = npq .
D (X )= D ∑Xi	= ∑D		(Xi	)= npq ,	σ (X ) = npq .
n		n
i=1		i=1

Найдем математическое ожидание и дисперсию относительной частоты по-

явления события A:					m	=
					n
	X		1	M (X )=
M		=	n
M		=
	n

p ,

D (X )=

npq

, σ

Полученный результат показывает обоснованность статистического опреде-

ления вероятности – среднее значение относительной частоты mn = p – веро-

ятности появления события в однократном испытании, а дисперсия, т. е., разброс значений вокруг среднего, уменьшается по мере роста n .

4.1.2. Распределение Пуассона

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, принимает значения k = 0,1,2,... с вероятностями

P (X = k )= λk!k e−λ .

Число λ > 0 – параметр распределения, смысл которого будет уточнен при вычислении числовых характеристик распределения.

Легко убедиться, что сумма всех вероятностей

∞
∑P (X = k )=1:
k =0
∞		k	∞		k	=e−λeλ =1.
∑λ			e−λ = e−λ ∑λ			=e−λeλ =1.
k =0	k!		k =0	k!

Случайные величины

Найдем математическое ожидание с.в., распределенной по закону Пуассона.

∞

k −1

M (X )= ∑k

e−λ = e−λ ∑

= e−λλ∑

k −1 = m

k =0

k =1 (k −1)!

k =1

(k −1)!

∞

= λe−λeλ = λ .

= λe−λ ∑

m=0

Таким образом, параметр распределения Пуассона λ – среднее количество событий за определенный промежуток времени (средняя интенсивность потока). Найдем дисперсию:

D (X )= M (X 2 )−(M (X ))2 = ∑k2 λ

e−λ −λ2 = e−λ ∑(k −1 +1)λ

−λ2

∞

k =0

k =1

(k −1)!

∞ (k −1)λk

∞

λk

∞

λk

∞

λk

= e−λ

∑k =1 (k −1)! + ∑k =1

−λ2

= e−

∑k =2

+ ∑k =1

−λ2

(k −1)!

(k −2)!

(k −1)!

k −1 = m

= e−λ

∞

λn

∞

λm

−λ2 = e−λ (λ2 +λ)eλ −λ2 = λ ,

k −2 = n

λ2

∑

+λ∑

n=0

m=0

дисперсия также равна параметру распределения. Этим свойством пользуются при проверке гипотезы, что неизвестная с.в. распределена по закону Пуассона: если оценки математического ожидания и дисперсии, полученные на основании опытных данных, близки между собой, то есть основания считать, что исследуемая с.в. распределена по закону Пуассона.

Значения вероятностей обычно находятся по таблицам.

Пример:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что после 200 выстрелов цель будет поражена?

Решение:

Воспользуемся формулой Пуассона. Событие А = {цель поражена} является сложным (цель поражена одним выстрелом, цель поражена двумя выстрела-

ми, и т.д.). Рассмотрим противоположное событие A = {цель не поражена}, его вероятность легко находится: параметр λ = np = 2 ,

P (A)= P200 (0)≈ 200! e−2 ≈ 0,135 . P (A)=1− P (A)≈ 0,865 .

4.1.3. Равномерное распределение

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от а до b, если ее плотность ƒ(х) на этом участке постоянна

	0,		при x < a, и x > b,
f (x) =		1
				, при a < x < b.


	b - a

Лекции 3-5

Вероятность попадания случайной величины Х на любую часть участка,

например, участка (α,β)

P{α < X < β } =

β −α

b − a

Определим функцию распределения F(x): F( x ) = P{ X < x } = ∫x

f ( x )dx .

−∞

x<a,

ƒ(x)=0, F(x)=0.

a<x<b,

f ( x ) =

, F( x ) = ∫x

dx = ∫a

0 dx + ∫x

dx =

x − a

− a

−∞ b − a

−∞

a b − a

b − a

x>b,

F(x) = ∫a

f (x)dx + ∫b

f (x)dx + ∫x

f (x)dx = ∫b

= b − a

=1.

−∞

a b − a

b − a

График функции распределения:

0, при x < a,

F(x) = x - a , при a < x < b,b - a

1, при x>b.

Вычислим математическое ожидание случайной величины Х:

mx =

∞

xf ( x )dx =

b xdx

b2 − a2

b + a

∫

∫b

− a

2( b − a )

дисперсию

−∞

b + a

+∞

b + a

x −

(b − a)

Dx = ∫(x − mx ) f (x)dx = = ∫ x −

b − a

3(b − a)

−∞

среднеквадратическое

отклонение

= D

= b − a . Мода y

равномерного

распределения отсутствует.

Медиана (из соображений симметрии)

mx = a +b

= Mex

Из соображений симметрии µ3 = 0,

коэффициент

асимметрии Sk=0,

a +b 4

( b − a )4

µ4

∫a

x −

dx =

;

− a

Случайные величины

эксцесс εx = µ4 −3 = −1,2 ; эксцесс отрицателен.

σx4

Пример:

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения случайной величины Т – времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение:

	1						2		x	2	2		2
							2			2	2		2
f ( x ) =		= 1	(0<x<2);	m	x	=	∫	x 1 dx =			=1 ,	D =	( 2 −0 )	=	4	=	1	,
	2 −0	2			x		∫	2	4			x	12	12		3
							0				0
							0				0

σx = 33 .

4.1.4.Показательное распределение

Случайная величина Х имеет показательное

(экспоненциальное) распределение, если

λe−λx , x ≥ 0, f (x) =

0, x < 0.

λ>0 называется параметром распределе-

ниОшибка! Закладка не определена.я.

Функция распределения F(x): F( x ) = ∫x			f ( x )dx .
		−∞
	x<0, F(x)=0.
x>0, F(x) = ∫x	f (x)dx = ∫0	f (x)dx +∫x	f (x)dx =
−∞	−∞	0

λ∫x e−λxdx = −	λλ ∫x e−λxd(−λ
0	0
		−λx
Таким образом, F(x) = 1 −e			, x >
	0, x < 0.

x) = −e−λx	x	= −e−λx + e0 =1 −e−λx .

0,	0

Числовые характеристики показательного распределения

Математическое ожидание показательного распределения

	∞		∞		∞		λ
	∫		∫		∫		λ
mx =		xf (x)dx =		xλe−λxdx = λ		xe−λxdx =	1	;
mx =	−∞	xf (x)dx =	0	xλe−λxdx = λ	0	xe−λxdx =		;
	−∞		0		0

(для вычисления интеграла интегрируем по частям). Дисперсия

Лекции 3-5

∞

(x − m )2

f ( x )dx = ∞

( x −

) λe−λxdx =

∫

−∞

∞

−λx

∞

−λx

∞

−λx

= ∫

λx

dx − ∫

λe

dx + ∫

λe

λ2

Среднеквадратическое отклонение:

, т.е. m

=σ

Вычислим асимметрию показательного распределения, для этого:

∞

1 3

−λx

µ3 = ∫0 x −

λe

dx =

λ3

Коэффициент асимметрии S

µ3

= 2 > 0 , что и следовало ожидать.

σ3

Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока.

f ( t ) = λe−λt , t ≥ 0 .			t
Найдем функцию распределения F (t)= P (T < t).

			t
Чтобы выполнялось неравенство T <t , нужно,	0	T	t

чтобы хотя бы одно событие потока попало на

участок длины t. Вероятность этого события описывает пуассоновское рас-

пределение: Pm = (λt)m e−λt . Вычислим вероятность противоположного собы- m!

тия T ≥ t : (m=0) P0 = e−λt ; P(T <t )=1 − P0 =1−e−λt , откуда F( t ) =1 −e−λt .

Дифференцируя, получаем: f ( t ) = F′( t ) = λe−λt - показательное распределение.

4.1.5. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение занимает в математике особое положение в силу своей важности.

где m,σ - параметры распределения.

Кривая распределения: максимум достигается при x=m.Мода Mox=m.

Математическое ожидание:

∞	1	∞	(x−m)2
mx = ∫ xf (x)dx =		∫ xe−	2σ2 dx =...
	σ 2π
−∞		−∞

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025166 Кб303 Иониты.doc
#
23.02.2015157 Кб3403 Однородные и неоднородные СЛУ.pdf
#
01.05.20252 Мб203 Ответы на билеты.doc
#
15.08.2019728 Кб1803 Препринт Попков.doc
#
23.02.2015311 Кб4303 Теплопроводность металлов и тепловой трубы.pdf
#
23.02.2015461 Кб903_05_Сл_вел_Часть_2_2005.pdf
#
23.02.201544 Мб1103_artists_cd.pdf
#
01.05.2025994 Кб303_Dom_rab_elektrostat.doc
#
04.09.2019279 Кб803-Средние_века.doc
#
23.02.2015358 Кб3203. Размещения, перестановки, сочетания.pdf
#
13.03.2016171 Кб2303. Скалярное произведение векторов .pdf