06_Системы_Сл_Вел_Часть_3_2005
.pdfМногомерные случайные события |
65 |
||||
3°. Ковариация не изменится, если к случайным величинам добавить посто- |
|||||
|
янные: |
|
|||
|
cov (X + a,Y )= cov (X ,Y +b)= cov (X + a,Y +b)= cov (X ,Y ). |
||||
4°. |
Дисперсия с.в. есть ее ковариация с самой собой, DX = KXX . |
||||
5°. Дисперсия суммы (разности) двух с.в. равна сумме их дисперсий плюс |
|||||
|
(минус) их удвоенная ковариация: |
|
|||
|
D (X ±Y )= DX + DY ±2KXY . |
|
|||
6°. |
Если случайные величины X и Y независимы, то KXY |
= 0 . |
|||
7°. Ковариация двух с.в. по абсолютной величине не превосходит произве- |
|||||
|
дения их средних квадратических отклонений, |
|
|||
|
|
KXY |
|
≤σx σy . |
|
|
|
|
|
Свойства 1 – 5 следуют из определения ковариации, свойство 6 – из определения независимости. Докажем свойство 7, для чего применим свойство 5 к
случайным величинам |
|
X −m |
x |
|
и |
Y −my |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
σx |
|
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
X −m |
x |
|
|
Y −my |
|
|
|
|
|
|
|
|
X −m |
x |
|
|
Y −my |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
= D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ D |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
X −m |
x |
|
|
|
|
|
|
|
X |
−m |
x |
|
|
|
Y −my |
|
|
Y |
−my |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
±2M |
|
|
|
− M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− M |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
σx |
|
|
|
|
σx |
|
|
|
σy |
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X −m |
x |
|
|
Y |
−my |
|
|
|
|
|
|
K |
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
=1 +1 ± |
2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 1 |
± |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
σ σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так как любая дисперсия неотрицательна, |
1 ± |
KXY |
≥ 0, |
−σ σ |
y |
≤ K |
XY |
≤σ σ |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σxσy |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
KXY |
|
≤σx σy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из свойства 6 следует, что KXY ≠ 0 , то с.в. |
|
X |
|
|
и Y |
зависимы. Если KXY |
≠ 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с.в. X и Y называют коррелированными. |
Однако из условия |
KXY = 0 не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует независимость с.в. X |
|
и Y |
(этот факт будет доказан позднее, |
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотрении функций от случайных величин). Если KXY = 0 , с.в. |
X и Y на- |
зывают некоррелированными. Из независимости следует некоррелированность, обратное утверждение неверно, из некоррелированности независи-
мость не следует.
Из определения ковариации видно, что она описывает и степень рассеяния с.в. X и Y , и связь между этими величинами. Для того, чтобы исключить влияние рассеяния и оценить только степень зависимости, обычно переходят
к стандартным с.в. |
X −m |
x |
и |
Y −my |
. |
σx |
|
σy |
|||
|
|
|
|
66 |
Лекция 6 |
ОКоэффициентом корреляции с.в. X и Y называется ковариация соответствующих им стандартных с.в.:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X −m |
x |
|
Y −my |
|
|
cov (X ,Y ) |
|
|
K |
XY |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= cov |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
σ |
|
|
σ σ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XY |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
σ σ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
x |
y |
||||||
Свойства коэффициента корреляции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1°. |
|
rXY |
|
≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2°. |
Для независимых с.в. rXY |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3°. |
Если с.в. |
X и |
Y |
связаны линейной функциональной зависимостью, |
||||||||||||||||||||||||||
|
Y = aX +b, a ≠ 0 , |
то |
|
rXY |
|
=1, |
причем |
|
rXY =1 при a > 0 и rXY = −1 при |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4°. |
Если |
|
rXY |
|
|
=1, то с.в. |
X и Y связаны линейной функциональной зависи- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
мостью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 1° следует из свойства 7° ковариации, свойство 2° – из свойства 6°. Докажем свойства 3° и 4°.
3°.
4°.
rXY |
|
|
cov |
( |
X ,aX +b |
) |
|
|
|
a cov |
( |
X ,X |
) |
|
|
a |
|
DX |
|
|
a |
|
1, |
a > 0, |
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
DX D (aX +b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
< 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
DX a2 DX |
|
DX |
|
−1, a |
|||||||||||||||||||||||||
Пусть rXY |
=1. Тогда (см. доказательство свойства 7 ковариации) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X −m |
x |
|
|
Y −my |
|
|
|
|
|
|
K |
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
− |
|
|
|
= |
2 |
1 |
− |
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
σ |
|
|
σ |
|
σ σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X −m |
x |
− |
Y −my |
|
= c = const . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
σy |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем M (c):
X −m |
Y −my |
|
|
||||
M (c)=c = M |
|
x |
− |
|
|
|
= |
σ |
|
σ |
|
||||
|
x |
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
т.е. |
X −m |
x |
= |
Y −my |
, откуда |
|
σx |
|
|
σy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
X −m |
Y −my |
|
|
||
M |
|
x |
|
−M |
|
|
=0, |
|
|
||||||
|
|
|
σy |
|
|
||
|
|
σx |
|
|
|
Y= σy (X −mx )+ my .
σx
аналогично, при |
r = −1 Y = − |
σy |
(X −m |
x |
)+ m |
y |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
XY |
σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, |
коэффициент корреляции rXY является мерой линейной |
|||||||||||||||||||
связи между случайными величинами: если rXY |
= 0 , с.в. независимы, ес- |
|||||||||||||||||||
ли |
|
rXY |
|
=1, с.в. |
связаны линейной зависимостью, при |
|
rXY |
|
≠1 зависи- |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
мость носит иной характер. Чем больше |
|
rXY |
|
|
, |
тем больше связь между |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
X и Y похожа на линейную. При rXY |
> 0 |
говорят о положительной |
Многомерные случайные события |
67 |
корреляции между X и Y , при rXY < 0 – об отрицательной корреляции.
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранее (пример в пункте 6.2) была рассмотрена случайная величина (X ,Y ): |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
0,05 |
|
|
0,15 |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0,1 |
|
|
0,2 |
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0,05 |
|
|
0,1 |
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rXY . |
|
|
|
|
|
|||||
|
Найдем |
коэффициент корреляции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение: Ранее были найдены законы распределения компонент |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
Y |
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
p |
0,2 |
|
0,45 |
0,35 |
|
|
p |
0,3 |
|
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
mx =1 0,2 +2 0,45 +3 0,35 = 0,2 +0,9 +1,05 = 2,15 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
my =1 0,3 +2 0,5 +3 0,2 = 0,3 +1,0 +0,6 =1,9 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Законы распределения центрированных компонент |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
X −mx |
|
-1,15 |
|
-0,15 |
|
0,85 |
|
|
|
|
Y −my |
-0,9 |
|
0,1 |
1,1 |
|
|||||||||
|
|
p |
|
0,2 |
|
0,45 |
|
|
0,35 |
|
|
|
|
|
p |
0,3 |
|
0,5 |
0,2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дисперсии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
DX = M ((X −mx )2 )= 0,5275 , DY = M ((Y −my )2 )= 0,49 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σx |
≈ 0,7263, σy = 0,7 |
|
|
|
|
|||||||
|
ковариация KXY = M ((X −mx )(Y −my ))= −0,035 , |
коэффициент корреляции |
||||||||||||||||||||||||
|
r |
= |
KXY |
= −0,0688 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
XY |
σ σ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно, компоненты скоррелированы слабо, так что если зависимость и есть, то она далека от линейной.
6.3.2. Числовые характеристики условных распределений
Для условных распределений компонент двумерной случайной величины также можно ввести числовые характеристики. Наиболее важными являются условные математические ожидания.
О Условное математическим ожидание случайной величины X при
Y = y , где y – одно из возможных значений с.в. Y , называется (для дискретной с.в.) сумма произведений значений с.в. X на их условные вероятности:
68 |
Лекция 6 |
k
M (X Y = y)= ∑xi p (xi y);
i=1
для непрерывной с.в.
∞
M (X Y = y)= ∫ xf (x y)dx ,
−∞
где f (x y) – условная плотность распределения.
Условное математическим ожидание M (X y) является функцией y :
M (X y)=ϕ (y),
которую называют функцией регрессии X на Y .
Аналогично определяются условное математическим ожидание M (Y x) и функция регрессии Y на X M (Y x)=ψ (x).
6.3.3. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
Рассмотрим двумерную случайную величину (X ,Y ), где X и Y – зави-
симые случайные величины и представим одну из величин как функцию другой. Подобное представление в общем случае может быть только приближенным. Ограничимся простейшим случаем линейной зависимости:
Y g (X )=αX + β ,
где α и β – параметры, подлежащие определению. Чаще всего для этого используется метод наименьших квадратов.
Функция g (X )=αX + β называется наилучшим приближением Y в смысле метода наименьших квадратов (МНК), если математическое ожи-
дание M Y − g (X ) 2 принимает наименьшее возможное значение; функцию g (X ) называют среднеквадратической регрессией Y на X .
Используя МНК, найдем коэффициенты уравнения регрессии. Рассмотрим математическое ожидание квадрата отклонения
M Y − g (X ) 2 = M [Y −αX − β]2 = F (α,β ),
которое зависит от неизвестных параметров α и β . Обозначим M (X )= mx ,
M (Y )= my , σx = D (X ), σy = D (Y ), r = µxy – коэффициент корреляции
σxσy
величин X и Y .
F (α,β )= M (Y −my )−α (X −mx )+(my −αmx − β ) 2 =
= M (Y −my )2 +α2 M (X −mx )2 +(my −αmx − β )2 −2αM (Y −my )(X −mx ) +
Многомерные случайные события |
69 |
+2 (my −αmx − β ) M (Y −my ) −2a (my −αmx − β ) M (X −mx ) = =σy2 +α2σx2 −2ασxσy r +(my −αmx − β )2 .
Исследуем F (α,β ) на экстремум.
|
∂F |
2 |
−2σxσy r −2mx (my −αmx − β ), |
|
∂α |
= 2ασx |
|
|
|
|
|
|
∂F |
= −2 (my −αmx − β )= 0, |
|
|
|||
|
∂β |
||
|
|
|
|
Решая систему, получаем α = r |
σy |
, |
β = m |
|
|
− r |
σy |
m |
. |
Легко убедиться, что |
||||||||
|
|
|
σx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
σx |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
при этих значениях α и β F (α,β ) минимальна. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак, линейная среднеквадратическая регрессия Y на X имеет вид: |
||||||||||||||||||
g (X )=αX + β = r |
σy |
X +my −r |
σy |
|
mx = my + r |
|
σy |
(X −mx ). |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
σ |
x |
|
σ |
x |
|
|
|
|
|
σ |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент α = r σy называется коэффициентом регрессии Y на X , а
σx
прямую y = my + r σy (x −mx ) – прямой среднеквадратической регрессии
σx
Y на X .
Минимальное значение F (α,β )min =σy2 (1−r2 ), достигающееся при найденных выше значениях параметров α и β , называется остаточной диспер-
сией случайной величины Y относительно случайной величины X ; она описывает величину ошибки, возникающей при замене Y линейной функцией g (X )=αX + β . Если r = ±1, остаточная дисперсия равна нулю , так как в
этом случае X и Y связаны строгой, а не приближенной линейной функциональной зависимостью.
Аналогично построенной функции среднеквадратической регрессии Y на X можно построить среднеквадратическую регрессию X на Y :
|
|
|
h (Y )= mx + r |
σx |
(Y −my ), |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
для которой r |
σx |
– коэффициент регрессии X на Y , x = mx + r |
σx |
(y −my ) |
||||
|
σ |
y |
|
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
– прямая среднеквадратической регрессии X на Y , σx2 (1 − r2 ) – остаточ-
ная дисперсия величины X относительно величины Y .
Из уравнений прямых среднеквадратической регрессии видно, что они обе проходят через центр рассеяния – точку с координатами (mx ,my ). Если r = ±1, то обе прямые регрессии совпадают.
70 |
Лекция 6 |
6.3.4. Линейная корреляция. Двумерный
|
нормальный закон распределения |
|
|
|
||||
Рассмотрим двумерную случайную величину (X ,Y ). |
Если и функция |
|||||||
регрессии X |
на Y M (X |
|
y)=ϕ (y) и |
функция регрессии Y |
на X |
|||
|
||||||||
M (Y |
|
x)=ψ (x) |
оказываются |
|
линейными, |
то говорят, что |
X и Y |
связаны |
|
|
линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, графики функций регрессии в этом случае оказываются прямыми. Можно показать, что эти прямые совпадают с рассмотренными ранее прямыми среднеквадратической регрессии.
Описанная ситуация имеет место в одном важном частном случае – если двумерная случайная величина распределена по двумерному нормальному закону. Этот закон является обобщением одномерного нормального распределения, его плотность вероятности задается формулой
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x−ax ) |
2 |
|
(y−ay ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
+ |
−2rxy |
x−ax y−ay |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
σx |
σy |
|
||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
e |
|
2(1−rxy ) |
σx |
|
|
σy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
2πσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
σ |
y |
1−r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: ax , ay , σx , σy и rxy . Можно доказать что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: ax , ay - математические ожидания, σx , σy – среднеквадратические отклонения, rxy – коэффициент корреляции величин X и Y . Для
двумерного нормального распределения связь между некоррелированностью и независимостью компонент X и Y становится взаимно однозначной: если компоненты независимы, они некоррелированы, если они некоррелированы, то они независимы. (Если f (x,y)= f1 (x) f2 (y), то rxy = 0 , если rxy = 0 , то
f (x, y)= f1 (x) f2 (y)).
Покажем, что для двумерного нормального распределения между компонентами существует линейная корреляционная зависимость. Обозначим
для краткости u = |
x −a |
x |
, v = |
y −ay |
, r |
= r . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
σx |
|
|
|
σy |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
+v2 −2ruv |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e− |
||
|
f (x, y)= |
|
|
|
|
2(1−r2 ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2πσxσy |
1−r2 |
|
|
Плотность распределения составляющей X
Многомерные случайные события |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
u2 |
+v2 |
−2ruv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f1 (x) |
|
|
(x, y)dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ∫ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e |
|
|
|
|
|
|
dy = |
|
= dv |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσxσy |
|
|
1 − r |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
u2 −r2u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (v−ru)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 −r2u2 +v2 −2ruv+r2u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e |
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
dv = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ e |
|
|
2(1−r2 )dv = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2πσx |
1 − r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
1 − r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
v − ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
− |
u2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
(x −ax )2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
x . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 − r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
2π |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Найдем функцию регрессии M (Y |
|
x)=ψ (x), |
|
для чего вначале найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условный закон распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
+v2 −2ruv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
+v2 −2ruv |
|
u2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x, y) |
|
|
|
|
|
2πσxσy 1−r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
|
|
− |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (y |
|
x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
−u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσ |
x |
σ |
y |
|
|
1−r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πσx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
v2 |
−2ruv+r2u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
(v−ru)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π (σy 1 − r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
(σy 1 − r2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окончательно заменяя u и v , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x−ax ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y− ay |
−r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (y |
|
x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
2σy2 |
(1−r2 ) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(σy 1 − r2 |
|
) 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии Y на X )
M(Y x)=ψ (x)= ay −r σy (x −ax )
σx
идисперсией σy 2 (1 − r2 ).
Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y ,
M(X y)=ϕ (y)= ax − r σx (y − ay )
σy
идисперсией σx2 (1 − r2 ).
Так как обе функции регрессии линейны, то и корреляция между компонентами линейная. Можно также отметить, что уравнения прямых регрессии совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии.